Задача 52959 ...

sharashara

3 августа 2020 г. в 11:02

Найдите tg(x/2), если 3sin x + 5cosx = 3; π < x < 2π.

sova

3 августа 2020 г. в 12:02

3 sinx+5cosx=3

Так как sinx=2sin(x/2)·cos(x/2)
cosx=cos²(x/2)–sin²(x/2)
1=cos²(x/2)+sin²(x/2) ⇒ 3=3cos²(x/2)+3sin²(x/2)

Подставляем в данное равенство:

3 ·2sin(x/2)·cos(x/2)+5·(cos²(x/2)–sin²(x/2))=3cos²(x/2)+3sin²(x/2)

Получаем:
6sin(x/2)·cos(x/2)+2cos²(x/2)–8sin²(x/2)=0

Однородное тригонометрическое уравнение второй степени.

Делим на cos²x ≠ 0

8tg²(x/2)–6tg(x/2)–2=0

4tg²(x/2)–3tg(x/2)–1=0

D=9+16=25

tg(x/2)=–1/4 или tg(x/2)=2

если
π < x <2π ⇒ (π/2) < (x/2) < π ⇒ (х/2) во второй четверти , тангенс во второй четверти отрицтельный

О т в е т –1/4

Ответ: -0,25