Задача 23870 ...

u1784610910

17 февраля 2018 г.

Исследовать функцию и построить ее график.

Вариант 9. y = x³ – x²

SOVA

17 февраля 2018 г.

★

1)D(y)=(– ∞; + ∞)
2) Функция не является ни четной и ни нечетной
f(–x)= (–х)^ 3– (–х)^ 2= – х³+ х²

f(–x) ≠ f(x)
и
f(–x) ≠ –f(x)

3) Исследуем функцию с помощью первой производной
y'= 3x²– 2x
y`=0
3x²–2x=0
x·(3x–2)=0
х1= 0, х2= 2/3 – точки возможного экстремума.
Применяем достаточное условие экстремума
Находим знаки певрой производной
___+__ (0) _–_ (2/3) __+__

х= 0 – точка максимума, производная меняет знак с + на –,
х= 2/3 – точка минимум, производная меняет знак с – на +
Вычислим значения функции в этих точках:
у (0)= 0,
у (2/3)= 8/27– 4/9= – 4/27= –0,148.

На (– ∞;0) и на ((2/3); + ∞) производная положительна, функция возрастает
На (0;(2/3)) производная отрицательна, функция убывает

4) Исследование функции с помощью второй производной
у''= 6х– 2
y``=0
х= 1/3 – точка перегиба
На (– ∞; (1/3)) вторая производная отрицательна, функция выпукла вверх
На ((1/3);+ ∞) вторая производная пооожительна, функция выпукла вниз .
Значение функции в точке х=(1/3):
у (1/3)= 1/27– 1/9= – 2/27= – 0,074.

5) Точки пересечения с осью Ох
х³– х²= 0,
х= 0 и х= 1.

То есть график функции пересекает ось Ох в точках
(0;0) и (1;0)

6) Дополнительные точки
х= –2
у (–2)= –8– 4= –12,

х= 2
у (2)= 8– 4= 4

х= 3
у (3)= 27– 8= 15.