Задача 28901 8. Найдите все значения параметра а, при...
Условие
Решение
a=(x4+10x2+1)/(x3+x)
Решим задачу графически.
Исследуем функцию
f(x)=(x4+10x2+1)/(x3+x) и построим график.
Область определения (– ∞;0)U(0;+ ∞)
Функция нечетная, так
((–x)4+10·(–x)2+1)/((–x)3+(–x))= – (x4+10x2+1)/(x3+x)
Рассматриваем (0;+ ∞ )
y`=((x4+10x2+1)·(x3+x)–(x4+10x2+1)·(x3+x)`)/(x3+x)2;
y`=((4x3+20x)·(x3+x)–(x4+10x2+1)·(3x2+1))/(x3+x)2;
y`=(x–1)(x+1)·(x4–6x2+1)/(x3+x)2
y`=0
x=1 ; x=–1;
x4–6x2+1=0
D=36–4=32
x2=3–2√2 или x2=3+2√2
Интервалу (0;+ ∞ ) принадлежат три точки:
x1=√3–2√2; х2=1; x3= √3+2√2
Знак производной:
(0) _–__ (x1) __+__ (x2) __–___ (x3) __+__
x2= 1 – точка максимума, производная меняет знак с + на –
f(1)=(1+10+1)/(1+1)=2
При a=2 уравнение имеет три корня.
При a > 2 уравнение имеет два корня.
( см. рис.)
x1 и x3 – точки минимума, производная меняет знак с – на +
Покажем, что значения функции в точках x1 и x3 равны.
f(x1)=((3–2√2)2+10(3–2√2+1)/(√3–2√2·(3–2√2+1)=
=8·√3–2√2/(2–√2;
f(x3)=((3+2√2)2+10(3+2√2+1)/(√3+2√2·(3+2√2+1)=
=8·√3+2√2/(2+√2;
f(x1)=f(x3) так как
√3–2√2/(2–√2=√3+2√2/(2+√2
В самом деле, возводим обе части в квадрат
(3–2√2)/(4–4√2+2)=(3+2√2/(4+4√2+2)
(3–2√2)/2·(3–2√3=(3+2√2/2·(3+2√2)=1/2
f(x1)=f(x3)=√2/2
C учетом нечетности функции получаем
О т в е т. При a ∈ (– ∞;–6)U{–√2/2}U{√2/2}U(6;+ ∞) 