Задача 37176 Вычислить длину дуги АВ кривой y=lnx c...

yelymcheav

2019-05-17 15:46:01

Вычислить длину дуги АВ кривой y=lnx c концами в точках А(1,0) и В(е,1)

sova

2019-05-18 10:41:24

L= ∫ ^(e)_(1)sqrt(1+(1/x)^2)dx= ∫ ^(e)_(1)sqrt(x^2+1))dx/x=

=тригонометрические подстановки:

x=tgt
x^2+1=tg^2t+1=1/cos^2t
dx=1/cos^2t

∫ sqrt(x^2+1))dx/x= ∫ dt/(tgt*cos^3t)= ∫ dt/(sint*cos^2t)= ∫ (tg^2t+1)dt/sint=

= ∫ sintdt/cos^2t + ∫ dt/sint=

=- ∫ cos^(-2)td(cost)+∫ dt/sint=

[b]=(1/cost)+ln|tg(t/2)|+C[/b]


cos^2t=1/(1+tg^2t)=1/(1+x^2)

sin^2t=1-cos^2t=1-(1/(1+x^2))=x^2/(1+x^2)


tg(t/2)=sin(t/2)/cos(t/2)=sint/(1+cost)=x/(1+sqrt(1+x^2))

поэтому:

[b]=(1/cost)+ln|tg(t/2)|+C[/b]=sqrt(1+x^2)+ln|x/(1+sqrt(1+x^2))|+C

По формуле Ньютона-Лейбница

∫ ^(e)_(1)sqrt(x^2+1))dx/x= sqrt(1+x^2)+ln|x/(1+sqrt(1+x^2))|^(e)_(1)=

= [b]sqrt(1+e^2)-sqrt(2)+ln|e/(1+sqrt(1+e^2))|-ln(1/(1+sqrt(2))|[/b]-

можно упростить, заменив логарифм дроби разностью логарифмов

О т в е т
[b]sqrt(1+e^2)-sqrt(2)+1-ln|1+sqrt(1+e^2)|-0+ln(1+sqrt(2)|[/b]

vk201218220

2019-05-17 21:20:51

l= ∫sqrt(1+y'^(2))dx= ∫sqrt(1+1/x^(2))dx
интеграл от 1 до е.