Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 44451 ...

Условие

x^2/log(5-x)x ≤ (5x-4)*log(x)(5-x)

математика 10-11 класс 3281

Все решения

red]ОДЗ:[/red]
{x>0
{x ≠ 1
{5-x>0 ⇒ x < 5
{5-x ≠ 1 ⇒ x ≠ 4


[red]x ∈ (0;1)U(1;4)U(4;5)[/red]

В условиях ОДЗ:

[m]\frac{1}{log_{5-x}x}=log_{x}(5-x)[/m]

Неравенство принимает вид:

x^2*log_(x)(5-x)-(5x-4)log_(x)(5-x) ≤ 0

log_(x)(5-x)*(x^2-5x+4) ≤ 0

Применяем метод интервалов:

x^2-5x+4=0
D=25-24=1
x=1; x=4

[u]x^2-5x+4 ≥ 0[/u] на [u](0; 1) и на (4;5)[/u]

x^2-5x+4 ≤ 0 на (1;4)


log_(x)(5-x)=0 ⇒ 5-x=1;
x=4

log_(x)(5-x) ≥ 0 по методу рационализации ⇔ (х-1)(5-х-1) ≥ 0 ⇒

(х-1)(х-4) ≤ 0


на (1;4)

[u]log_(x)(5-x) ≤ 0[/u] по методу рационализации ⇔ (х-1)(5-х-1) ≤ 0 ⇒

(х-1)(х-4) ≥ 0

[u]на (0; 1) и на (4;5)[/u]

Замечаем, что на (0;1); (1;4) и (4;5)

множители имеют противоположные знаки.
Значит на этих промежутках произведение отрицательно.

Равенство в точках 1 и 4, но они не входят в ОДЗ


О т в е т. (0;1)U(1;4)U(4;5)

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК