Задача 44259 ...

barcelona960

15 февраля 2020 г. в 12:53

∬_D sin √x² + y² dxdy, если область D ограничена окружностями x² + y² = π² и x² + y² = 4π².

sova

15 февраля 2020 г. в 13:07

Переход к полярным координатам:
x= ρ cos θ
y= ρ sin θ

x²+y²= ρ²

Якобиан |J|= ρ

x²+y²=π² ⇒ ρ ²=π² ⇒ ρ =π

x²+y²=4π²⇒ ρ ²=4π² ⇒ ρ =2π

D:
π ≤ ρ ≤ 2π
0 ≤ θ ≤ 2π

∫ ∫ _D(sin ρ )· ρ d ρ d θ = ∫ ^2π₀( ∫ ^2π_π ρ ·sin ρ d ρ) d θ=

считаем внутренний интеграл по частям:

u= ρ dv=sin ρ d ρ
du=d ρ ; v=–cos ρ

= ∫ ^2π₀((– ρ cos ρ )|^2π_π+ ∫^2π_π cos ρ d ρ )d θ =

= ∫ ^2π₀( –(2π)·cos2π+π·cosπ+sin ρ |^2π_π)d θ =

=∫ ^2π₀((–3π+0)d θ =

=–3π θ |^2π₀=–6π