Задача 46059 Неопр интеграл 5.3 5.4 5.5...
Условие
Все решения
[i]Замена переменной:[/i]
sqrt(x-3)=t
x-3=t^2
x=t^2+3
dx=(t^2=3)`dt
dx=2tdt
Тогда интеграл принимает вид
∫ (t^2+3)^2*(2tdt)/t= 2∫ (t^2+3)^2dt=2 ∫ t^4+6t^2+9)dt=
=2*(t^5/5)+12*(t^3/3)+18t + C=
=(2/5)t^5+4t^3+18t+C
Обратная замена и
о т в е т:
[b](2/5)*sqrt((x-3)^5)[red]+[/red]4*sqrt((x-3)^3)+18*sqrt(x-3)+C[/b]
5.4
[i]Замена переменной:[/i]
sqrt(x+4)=t
x+4=t^2
x=t^2-4
dx=(t^2+4)`dt
dx=2tdt
Тогда интеграл принимает вид
∫ (t^2-4)*(2tdt)/(2+t)=2 ∫ (t-2)(t+2)*t/(t+2)dt =
сокращаем на (t+2)
=2 ∫ (t-2)*tdt=2 ∫( t^2-2t)dt=2*(t^3/3)-2t^2 +C
Обратная замена и
о т в е т:[red](2/3)sqrt((x+4)^3)-2(x+4) [/red]+C
5.5
[i]Замена переменной:[/i]
sqrt(x+1)=t
x+1=t^2
x=t^2-1
dx=(t^2-1)`dt
dx=2tdt
Тогда интеграл принимает вид
∫ (t^2-1)^3*(2tdt)/t=2 ∫ (t^2-1)^3dt=
=2* ∫ (t^6-3t^4+3t^2-1)dt=
=2*(t^7/7)-6*(t^5/5)+6*(t^3/3)-2t+C=
=(2/7)*sqrt((x+1)^7)-[red](6/5)[/red]sqrt((x+1)^5) +[red]2[/red]sqrt((x+1)^3)[red]-2[/red]sqrt(x+1) +C