Задача 12342 Вычислить интеграл...
Условие
(x+3)dx/xsqrt(2x+3)
sin^54xdx/cos^44x
математика ВУЗ
1354
Решение
★
sqrt(2x+3)=t
2x+3=t^2
x=(t^2-3)/2
x+3=(t^2-3)/2 +3 =(t^2-3+6)/2=(t^2+3)/2
dx=dt
f(x)=(t^2+3)/t(t^2-3)- дробь, которую надо разложить на простейшие
(t^2+3)/t(t^2-3)=2t/(t^2-3)-(1/t)
О т в е т. ln|t^2-3|-lnt+C, t=sqrt(2x+3)
sin^54x=sin^44x*sin4x=(1-cos^24x)^2*sin4x=(1-2cos^24x+cos^44x)*sin4x
f(x)=((1-2cos^24x+cos^44x)/cos^4x)*sin4x=
=(1/cos^44x)-(2/cos^24x)+1)*sin4x
Замена
cos4x=t
(-sin4x)*(4)dx=dt
sin4x=-dt/4
I=(-1/4)∫((1/t^4)-(2/t^2)+1)dt=-(1/4)*(-1/3t^3+(1/2)*(-1/t)-(1/4)t+C=
=(1/12)(1/t^3)-(1/2t)-(t/4)+C, t=cos4x