Задача 45249 Найти производную dy/dx функции a) y =...

sombo

23 марта 2020 г. в 13:42

Найти производную dy/dx функции

a) y = (4x – 3)^arccosx ,

б) y = (x – 3)⁷ · (x + 2^3x) · 8^cos3x.

sova

23 марта 2020 г. в 14:11

★

а)
Логарифмируем:

lny=ln(4x–3)^arccosx

lny=arccosx·ln(4x–3)

y – зависимая переменная.

[m]\frac{y`}{y}=(arccosx)`\cdot ln (4x-3)+arccosx\cdot (ln(4x-3))`[/m]


[m]\frac{y`}{y}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot ln (4x-3)+arccosx\cdot\frac{4}{4x-3}[/m]


[m]y`=y\cdot (-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot ln (4x-3)+arccosx\cdot\frac{4}{4x-3})[/m]


[m]y`=(4x-3)^{arccosx}\cdot (-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot ln (4x-3)+arccosx\cdot\frac{4}{4x-3})[/m]

б)
Логарифмируем

lny=ln(x–3)⁷·(x+2^3x)·8^cos3x

Применяем свойства логарифма:

lny=ln(x–3)⁷+ ln (x+2^3x)+ ln8^cos3x

lny =7ln(x–3) +ln (x+2^3x)+ cos3x·ln8

Дифференцируем:

(lny)` =(7ln(x–3) +ln (x+2<sup>3x</sup>)+ cos3x·ln8)`

[m]\frac{y`}{y}=\frac{7}{x-3}+\frac{1+2^{3x}3\cdot ln2}{x+2^{3x}}-3ln8\cdot sin3x[/m]

[m]y`=y\cdot (\frac{7}{x-3}+\frac{1+2^{3x}3ln2}{x+2^{3x}}-3ln8\cdot sin3x)
[/m]

[m]y`=(x-3)^{7}(x+2^{3x})8^{cos3x}\cdot (\frac{7}{x-3}+\frac{1+2^{3x}3ln2}{x+2^{3x}}-3ln8\cdot sin3x)[/m]