Задача 29199 ...
Условие
Все решения
{a*(x+2)^2-8y+6a-4a+28 меньше или равно 0;
{a*(y-3)^2-8x+11a-9a-12 меньше или равно 0
Замена переменной:
[b]u=x+2; v=y-3 [/b] ⇒ x=u-2; y=v+3
{au^2-8*(v-3)+2a+28 меньше или равно 0
{av^2-8*(u-2)+2a-12 меньше или равно 0
{au^2-8v+2a+4 меньше или равно 0
{av^2-8u+2a+4 меньше или равно 0 [b] # [/b]
В каждом неравенстве получили инвариант, который не меняется при замене u на v
Значит единственное решение последней системы (u;v)
Подставляем u=v в первое уравнение.
Получаем квадратное неравенство
au^2-8u+2a+4 меньше или равно 0
Квадратное неравенство имеет единственное решение, если ветви параболы направлены вверх и D=0
Из этих условий получаем системы для нахождения а:
{a > 0
{D=(-8)^2-4*a*(2a+4)=0
{a > 0
{64-8a^2-16a=0 ⇒ a^2+2a-8=0 ⇒ D=36; a_(1)=-4; a_(2)=2
C учетом первого неравенства, получаем единственное значение a=2
Подставляем a=2 в системy [b] # [/b]
{2u^2-8v+8 меньше или равно 0
{2v^2-8u+8 меньше или равно 0
{u^2-4v+4 меньше или равно 0
{v^2-4u+4 меньше или равно 0
Складываем
u^2-4v+4+v^2-4u+4 меньше или равно 0.
(u-2)^2+(v-2)^2 меньше или равно 0 ⇒ cумма двух неотрицательных выражений меньше или равно 0, тогда и только тогда, когда
u-2=0 и v-2=0
u=2 и v=2
u=v=2
x=0; y=3
О т в е т. Система имеет единственное решение (0;3) при а=2