Задача 32097 В урне 5 белых и 7 черных шаров. 2...

vk186312129

18 декабря 2018 г. в 21:09

В урне 5 белых и 7 черных шаров. 2 игрока поочередно извлекают из урны по одному шару(с возвращением). Выигрышным считается тот, кто первый извлечет белый шар. Найти вероятность того, что выиграет тот кто первый начал игру.

sova

18 декабря 2018 г. в 21:55

★

В урне 7 чёрных шара и 5 белых.

Всего шаров 12. Количество шаров не меняется, так как шары возвращаются

Первый участник выигрывает с первой попытки с вероятностью 5/12.

Если он не выиграл с первой попытки с вероятностью 7/12, то
второй выиграет со своей первой попытки в данном случае с вероятностью (7/12)·(5/12)

и не выиграет со своей первой попытки с вероятностью (7/12)·(7/12)


Первый участник выигрывает со второй своей попытки с вероятностью (7/12)·(7/12)·(5/12), и проигрывает с вероятностью

(7/12)·(7/12)·(7/12)


Вероятность выигрыша второго со своей второй попытки
7/12·(7/12)·(7/12)·(5/12)

Вероятность того, что и второй не выигрывает со своей второй попытки
7/12·(7/12)·(7/12)·(7/12)

Тогда у первого третья попытка
7/12·(7/12)·(7/12)·(7/12)·(5/12) – вероятность выигрыша первого с третьей попытки

...

7/12·(7/12)·(7/12)·(7/12)·(7/12)(7/12)·(5/12) – вероятность выигрыша с четвертой попытки


p=(5/12) + (7/12)·(7/12)·(5/12)+(7/12)·(7/12)·(7/12)·(7/12)·(5/12)+...

=(5/12)·(1+(7/12)²+(7/12)⁴+...)=

=(5/12) · 1/(1–(7/12)²)=60/95=12/19

12/19 > 1/2, значит шансов
выиграть больше у начинающего игру