Задача 41993 Вычислить границы: [m]\lim_{x \to\...

fool

2019-11-27 21:52:46

Вычислить границы:
[m]\lim_{x \to\ 1}(2x-1)^\frac{2x}{x-1}[/m]

sova

2019-11-27 22:02:20

★

Задача
Найти lim_(x → 1)y

y=[m](2x-1)^{\frac{2x}{x-1}}[/m]

Найдем
lim_(x → 1)lny

lny=ln[m](2x-1)^{\frac{2x}{x-1}}[/m]

Применяем свойство логарифма степени

lny=[m]\frac{2x}{x-1}\cdot ln(2x-1)[/m]

Замена переменной
x-1=t
x=t+1

x → 1 ⇒ t → 0

lny=[m]\frac{2(t+1)}{t}\cdot ln(2(t+1)-1)[/m]

lny=[m]\frac{ln(1+2t)}{t}\cdot (2t+2)[/m]

lim_(x → 1)lny=lim_(t → 0)[m]\frac{ln(1+2t)}{t}\cdot (2t+2)[/m]


предел произведения равен произведению пределов:

=lim_(t → 0)[m]\frac{ln(1+2t)}{t}[/m]* lim_(t → 0)[m] (2t+2)=[/m]


=lim_(t → 0)[m]2\cdot \frac{ln(1+2t)}{2t}[/m]* lim_(t → 0)[m] (2t+2)=[/m]


=2*2=4

lim_(x → 1)lny=4

lim_(x → 1)y=e^(4) - о т в е т