Задача 12625 Диагонали трапеции делят ее на четыре...

veron01101

28.12.2016

Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Площади трёх их них равны 4, 8 и 16. Найдите площадь четвёртого.

SOVA

29.12.2016

★

1) Треугольники АВО и СDO - равновелики ( имеют одинаковую площадь): S(Δ ABO)=S(Δ COD)( cм. рис.1)
Доказательство. Проводим высоты ВН=СК=h.
S(Δ ABD)=S(Δ ACD)=AD*h/2.
S(Δ ABD)-S(Δ AOD)=S(Δ ACD)-S(Δ AOD).

2) Площади треугольников, имеющих общую высоту, относятся как основания.
Треугольники АВО и ВОС имеют общую высоту.
Треугольники АОD и CОD так же имеют общую высоту.
Поэтому
S(Δ ABO):S(Δ BOC)=S(ΔAOD):S(ΔCOD)=AO:OC
Пусть
S(Δ ABO)=S(Δ СOD)=x

x:S(Δ BOC)=S(ΔAOD):x
По свойству пропорции произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
S(Δ BOC)*S(ΔAOD)=x^2
Равенство возможно, если S(Δ BOC)=4;S(ΔAOD)=16;
S(Δ ABO)=S(Δ СOD)=8

4*16=8^2

vk373384374

29.12.2016

если площади треугольников равны 4 8 16, то это говорит о том что диагонали точкой пересечения делятся как 1:2. тогда площадь будет равна 4*2=8