Задача 14943 logx^2(X+1)^2 < =1...

u464744236

4 октября 2017 г. в 00:00

log_x²(X+1)² < =1

SOVA

4 ноября 2017 г. в 00:00

ОДЗ:
{x² > 0;
{x²≠1
{(x+1)² > 0;
{(x+1)²≠1

{x≠0
{x≠–1;x≠1
{x≠–1
{x≠0; x≠–2
ОДЗ x∈(–∞;–2)U(–2;–1)U(–1;0)U(0;1)U(1;+∞)

По формуле перехода к другому основанию и по формуле логарифма степени
log_x²(x+1)²=2/2log_|x||x+1|

Неравенство принимает вид

log_|x||x+1| ≤ 1.
Заменим
1=log_|x||x|
Применяя метод рационализации логарифмических неравенств ( см. таблицу), получим
(|x|–1)(|x+1|–|x|) ≤ 0.

Находим нули выражения слева
|x|=1 или |x+1|=|x|
х=±1 или x²+2x+1=x² ⇒ x=–1/2
Отмечаем найденные нули на ОДЗ и расставляем знаки:
( для удобства можно построить графики функций у=|x|–1 и у=|x+1|–|x|)
__–__ (–2) _–_ (–1) _+__ [–1/2] __–__ (0) __–__ (1) __+___

О т в е т. (–∞;–2)U(–2;–1)U[–1/2;0)U(0;1)