Задача 52953 sinx+cosx = 2sqrt(2)sinx*cosx ...

sinx+cosx = 2√2sinx·cosx

Замена переменной:

sinx+cosx=t
Возводим в квадрат:

sin²x+2sinx·cosx+cos²x=t² ⇒ так как sin²x+cos²x=1, то

2sinx·cosx=t²–1

Получаем уравнение:

t=√2·(t²–1)

√2t²–t–√2=0

D=1+8=9

t₁=[m]-\frac{1}{\sqrt{2}}[/m] или t₁=[m]\sqrt{2}[/m]

Обратный переход:

sinx+cosx= [m]-\frac{1}{\sqrt{2}}[/m] или sinx+cosx= [m]\sqrt{2}[/m]

Так как sinx=cos([m]\frac{\pi}{2}[/m]–x), то

cos([m]\frac{\pi}{2}[/m]–x)+cosx= [m]-\frac{1}{\sqrt{2}}[/m] или cos([m]\frac{\pi}{2}[/m]–x)+cosx= [m]\sqrt{2}[/m]

Применяем формулу

2cos[m]\frac{\pi}{4}[/m]·cos([m]\frac{\pi}{4}[/m]–x)=[m]-\frac{1}{\sqrt{2}}[/m] или 2cos[m]\frac{\pi}{4}[/m]·cos([m]\frac{\pi}{4}[/m]–x)=[m]\sqrt{2}[/m]

Так как cos[m]\frac{\pi}{4}[/m]=[m]\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]

[m]\sqrt{2}[/m]·cos([m]\frac{\pi}{4}[/m]–x)=[m]-\frac{1}{\sqrt{2}}[/m] или [m]\sqrt{2}[/m]·cos([m]\frac{\pi}{4}[/m]–x)=[m]\sqrt{2}[/m]

cos([m]\frac{\pi}{4}[/m]–x)=[m]-\frac{1}{2}[/m] или cos([m]\frac{\pi}{4}[/m]–x)=[m]1[/m]

По свойству четности косинуса

cos([m]\frac{\pi}{4}[/m]–x)=cos(x–[m]\frac{\pi}{4}[/m])

cos(x–[m]\frac{\pi}{4}[/m])=[m]-\frac{1}{2}[/m] или cos(x–[m]\frac{\pi}{4}[/m])=[m]1[/m]

x–[m]\frac{\pi}{4}=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi[/m] n,n ∈ Z или x–[m]\frac{\pi}{4}=2\pi[/m] m,m ∈ Z

x=[m]\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{3}+2\pi[/m] n,n ∈ Z ⇒ x=[m]\frac{11\pi}{12}+2\pi[/m] n,n ∈ Z ⇒
x=[m]\frac{\pi}{4}-\frac{2\pi}{3}+2\pi[/m] n,n ∈ Z ⇒x=[m]-\frac{5\pi}{12}+2\pi[/m] n,n ∈ Z

x=[m]\frac{\pi}{4}+2\pi[/m] m,m ∈ Z

О т в е т.
[m]\frac{11\pi}{12}+2\pi[/m] n,n ∈ Z ⇒
[m]-\frac{5\pi}{12}+2\pi[/m] n,n ∈ Z
[m]\frac{\pi}{4}+2\pi[/m] m,m ∈ Z

см. рис.

То, что эти три ответа можно объединить в один: [m]\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{3}[/m]k, k ∈ Z
– это проблема взрослых

Задача решена верно и если ответ не засчитан
можно смело идти на апелляцию