Задача 38803 ...

vk288952222

18 августа 2019 г. в 20:12

Решить неравенство

log_x+5(6–x)·log_4–x(x+3) ≥ 0

sova

18 августа 2019 г. в 21:28

ОДЗ:
{6–x>0 ⇒ x < 6
{x+5>0; x+5 ≠ 1 ⇒ (–5;–4)U(–4;+ ∞)
{x+3 >0 ⇒ x > –3
{4–x>0;4–x ≠ 1 ⇒ x < 4; x ≠ 3

x ∈ (–3;3)U(3;4)

Произведение неотрицательно значит множители имеют одинаковые знаки:

первый случай

{log_x+5(6–x) ≤ 0
{log_4–x(x+3) ≤ 0

Решаем первое неравенство:
log_x+5(6–x) ≤ 0
или
log_x+5(6–x) ≤ log_x+51

при x ∈ (–3;3)U(3;4)
основание логарифмической функции (х+5) > 1,
логарифмическая функция возрастает и потому
6–х ≤ 1
x ≥ 5 не входит в ОДЗ

второе неравенство не решаем, система не будет иметь решений.


второй случай

{log_x+5(6–x) ≥ 0
{log_4–x(x+3) ≥ 0

Решаем первое неравенство:
log_x+5(6–x) ≥ 0
или
log_x+5(6–x) ≥ log_x+51

при x ∈ (–3;3)U(3;4)
основание логарифмической функции (х+5) > 1, функция возрастает и потому
6 – х ≥ 1
x ≤ 5
с учетом ОДЗ решение первого неравенства

(–3;3)U(3;4)

Решаем второе неравенство:
log_4–x(x+3) ≥ 0
или
log_4–x(x+3) ≥ log_4–x1

Если
4–х>1, т.е. при x <3 логарифмическая функция возрастает и потому
x+3 ≤ 1
x ≥ –2
Решение [–2;3)

Если
0 <4–x < 1, т.е при 3<x<4 логарифмическая функция убывает и потому
x+3 ≤ 1

Множества 3 < x <4 и x ≤ –2 не пересекаются

О т в е т. [–2;3)