Задача 22309 Известно, что число $$a$$ удовлетворяет...

u6217613182

13.01.2018

Известно, что число $$a$$ удовлетворяет уравнению $$x^3+6x^2+17x+7=0$$, а число $$b$$ – уравнению $$x^3-3x^2+8x+5=0$$. Найдите наименьшее возможное значение суммы $$a+b$$. 

SOVA

13.01.2018

★

a^3+6a^2+17a+7=0,
b^3–3b^2+8b+5=0.

Складываем

a^3+6a^2+17a+7+b^3–3b^2+8b+5=0

(a^3+3·2a^2+3·a·2^2+8)+5a–1+(b^3–3b^2+3b–1)+5b+6=0
(a+2)^3+(b–1)^3+5(a+2)+5(b–1)=0
(a+2+b–1)·(a+2)^2–(a+2)·(b–1)+(b–1)^2+5)=0
a+b+1=0
a+b=–1
(a+2)^2–(a+2)·(b–1)+(b–1)^2+5)≠0
т.к.
b^2-(4+a)b+(a^2+5а+12) > 0 как квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом
D=(4+a)^2-4*(a^2+5a+12)=-3a^2-4a-32 < 0
его дискриминант тоже отрицательный
16-4*3*32 < 0

О т в е т. a+b=-1