Задача 22309 Известно, что число $$a$$ удовлетворяет...

u6217613182

13 января 2018 г.

Известно, что число $$a$$ удовлетворяет уравнению $$x³+6x²+17x+7=0$$, а число $$b$$ – уравнению $$x³–3x²+8x+5=0$$. Найдите наименьшее возможное значение суммы $$a+b$$. 

SOVA

13 января 2018 г.

★

a³+6a²+17a+7=0,
b³–3b²+8b+5=0.

Складываем

a³+6a²+17a+7+b³–3b²+8b+5=0

(a³+3·2a²+3·a·2²+8)+5a–1+(b³–3b²+3b–1)+5b+6=0
(a+2)³+(b–1)³+5(a+2)+5(b–1)=0
(a+2+b–1)·(a+2)²–(a+2)·(b–1)+(b–1)²+5)=0
a+b+1=0
a+b=–1
(a+2)²–(a+2)·(b–1)+(b–1)²+5)≠0
т.к.
b²–(4+a)b+(a²+5а+12) > 0 как квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом
D=(4+a)²–4·(a²+5a+12)=–3a²–4a–32 < 0
его дискриминант тоже отрицательный
16–4·3·32 < 0

О т в е т. a+b=–1