Задача 35462 а) Решите [m]log^2_{2x} (4x^3) -2 =...

vk237441360

6 апреля 2019 г. в 23:24

а) Решите [m]log^2_{2x} (4x^3) -2 = log_{2x} (4x)[/m]

б) Отбор корней на промежутке [m] [\frac{1}{2}; \frac{1}{\sqrt[10]{2}}] [/m]

sova

7 апреля 2019 г. в 09:22

ОДЗ:
{4x³>0 ⇒ x>0
{2x>0 ⇒ x>0
{2x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/2
{4x>0 ⇒ x > 0

x ∈ (0;1/2) U (1/2; + ∞ )

Переходим к основанию 2
log_2x(4x³)=(log₂(4x³))/log₂(2x)=

= (log₂4+3log₂x)/(log₂2+log₂x)=

=(2+3log₂x)/(1+log₂x)


log_2x(4x)=(log₂(4x))/log₂(2x)=

= (log₂4+log₂x)/(log₂2+log₂x)=

=(2+log₂x)/(1+log₂x)


Замена переменной:

log₂x=t

(2+3t)²/(1+t)² – 2 = (2+t)/(1+t)

((4+12t+9t²)–2·(1+t)²–(2+t)·(1+t))/((1+t)²)=0

(6t²+9t)/(1+t)²=0

{6t²+9t=0
{1+t ≠ 0 ⇒ t ≠ –1

6t²+9t=0
3t·(2t+3)=0
t=0 или 2t+3=0
t=0 или t=–3/2

Обратный переход к переменной х:

log₂x=0 ⇒ x=2⁰; x=1
log₂x=–3/2 ⇒ x=2^–3/2; x=√1/8=1/(2·√2)

О т в е т.
а)1; 1/(2·√2)

б)1= 2⁰< 2^0,1

1/2⁰=1 > 1/2^0,1

1∉ [1/2; 1/2^0,1]

2·√2 > 2
1/2√2 < 1/2
1/(2·√2)∉ [1/2; 1/2^0,1]

Нет корней принадлежащих указанному отрезку