Задача 35462 а) Решите [m]log^2_{2x} (4x^3) -2 =...

vk237441360

2019-04-06 23:24:26

а) Решите [m]log^2_{2x} (4x^3) -2 = log_{2x} (4x)[/m]

б) Отбор корней на промежутке [m] [\frac{1}{2}; \frac{1}{\sqrt[10]{2}}] [/m]

sova

2019-04-07 09:22:37

ОДЗ:
{4x^3>0 ⇒ x>0
{2x>0 ⇒ x>0
{2x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/2
{4x>0 ⇒ x > 0

x ∈ (0;1/2) U (1/2; + ∞ )

Переходим к основанию 2
log_(2x)(4x^3)=(log_(2)(4x^3))/log_(2)(2x)=

= (log_(2)4+3log_(2)x)/(log_(2)2+log_(2)x)=

=(2+3log_(2)x)/(1+log_(2)x)


log_(2x)(4x)=(log_(2)(4x))/log_(2)(2x)=

= (log_(2)4+log_(2)x)/(log_(2)2+log_(2)x)=

=(2+log_(2)x)/(1+log_(2)x)


Замена переменной:

log_(2)x=t

(2+3t)^2/(1+t)^2 - 2 = (2+t)/(1+t)

((4+12t+9t^2)-2*(1+t)^2-(2+t)*(1+t))/((1+t)^2)=0

(6t^2+9t)/(1+t)^2=0

{6t^2+9t=0
{1+t ≠ 0 ⇒ t ≠ -1

6t^2+9t=0
3t*(2t+3)=0
t=0 или 2t+3=0
t=0 или t=-3/2

Обратный переход к переменной х:

log_(2)x=0 ⇒ x=2^(0); [b] x=1[/b]
log_(2)x=-3/2 ⇒ x=2^(-3/2); [b] x=sqrt(1/8)=1/(2*sqrt(2))[/b]

О т в е т.
а)1; 1/(2*sqrt(2))

б)1= 2^(0)< 2^(0,1)

1/2^(0)=1 > 1/2^(0,1)

1∉ [1/2; 1/2^(0,1)]

2*sqrt(2) > 2
1/2sqrt(2) < 1/2
1/(2*sqrt(2))∉ [1/2; 1/2^(0,1)]

Нет корней принадлежащих указанному отрезку