Задача 13454 Решить неравенство...

slava191

2 апреля 2017 г. в 00:00

Решить неравенство √(x–1)(x–2)log_x²(2/x²)/|x+2| > (x²–3x+1+log_|x|√2)/(x+2)

SOVA

2 мая 2017 г. в 00:00

★

OДЗ:
{(x–1)·(x–2)·log_x²(2/x²) ≥ 0;
{x ≠ 0,
{x ≠±1.
Для нахождения знака произведения (х–1)(х–2) применяем метод интервалов
_+__ (–1) _+_ (0) _+_ (1) ___–___ [2] _+__

Для нахождения знака log_x²(2/x²) применяем метод рационализации логарифмических неравенств

(x²–1)·((2/x²)–1) ≤( или ≥) 0
(x–1)(x+1)·(2–x²)/x² ≤( или ≥) 0

_–_ [–√2] _+_ (–1) _–_ (0) _–_ (1) _+__[√2]__–__

Произведение двух множителей неотрицательно когда множители имеют одинаковые знаки.
ОДЗ: х∈[–√2;–1) U[√2;2].

При x[–√2;–1) U[√2;2]
x+2 > 0
неравенство можно сократить на положительное выражение, отличное от 0.
Неравенство принимает вид:
√(x–1)(x–2)log_x²(2/x²) > x²–3x+1+log_|x|√2.
или
√(x–1)(x–2)(log_x²2–1) > (x–1)(х–2)–1+log_|x|√2.
√(х–1)(х–2)·(–1+log_|x|√2) > (x–1)(х–2) –1+log_|x|√2.
Неравенство имеет вид:
√u·v > u+v
u=(x–1)(x–2)
v=–1+log_|x|√2.

1) Если u+v < 0 неравенство верно при всех х , при которых √uv определен.

u+v=(x–1)(x–2)–1+log_|x|√2 < 0 на [√2;2]
cм. рисунок.

2) Ecли u+v > 0, возводим в квадрат
uv > u²+2uv+v² или u²+uv+v² < 0– неравенство не выполняется ни при каких х, так как D=(1–4 < 0)

u+v=(x–1)(x–2)–1+log_|x|√2 > 0 на [–√2;–1)
cм. рисунок.
О т в е т. [√2;2]