Задача 8354 y''+4y'+5y=25х y(0)=2 y'(0)=0...
Условие
Решение
Где
у₀- частное решение однородного уравнения
y''+4y'+5y=0
Y- частное решение неоднородного уравнения
Составляем характеристическое уравнение
однородного уравнения:
k²+4k+5=0
D=16-20=-4
корни комплексно-сопряженные
-2+i и -2 -i
α=-2 β=1
y₀=e^(-2x)(C₁cosx+C₂sinx)
Y=ax+b - частное решение находим в виде, подобном правой части. Справа линейная функция
Y`=a
Y``=0
Подставляем в данное уравнение
0+4а+5(ax+b)=25x
5ax+(4a+5b)=25x
5a=25
a=5
4a+b=0
b=-4a=-20
Общее решение данного неоднородного уравнения
у=e^(-2x)(C₁cosx+C₂sinx)+5x-20
Находим частное решение данного неоднородного из условия
y(0)=2 y'(0)=0
Находим
y`=e^(-2x)*(-2x)`*(C₁cosx+C₂sinx)+e^(-2x)*(-C₁sinx+C₂cosx)+5=e^(-2x)*(-2C₁cosx-2C₂sinx-C₁sinx+C₂cosx)+5
Составляем систему:
2=e^(0)(C₁cos0+C₂sin0)+5*0-20
0=e^(0)*(-2C₁cos0-2C₂sin0-C₁sin0+C₂cos0)+5
или
2=C₁-20 ⇒ C₁=22
0=-2C₁+C₂+5 ⇒ С₂=2C₁-5=44-5=39
О т в е т.
Общее решение:
у=e^(-2x)(C₁cosx+C₂sinx)+5x-20
Частное решение
у=у=e^(-2x)(22cosx+39sinx)+5x-20