Задача 8646 Дана правильная призма ABCA1B1C1, у...

marusya2410@yan

24.04.2016

Дана правильная призма ABCA1B1C1, у которой сторона основания AB = 4, а боковое ребро AA1 = 9. Точка М-середина ребра АС, а на ребре АА1 взята точка Т так, что АТ=5.

а) Докажите, что плоскость ВВ1М делит отрезок С1Т пополам.
б) Плоскость ВТС1 делит отрезок МВ1 на две части. Найдите длину меньшей из них.

SOVA

24.04.2016

★

АТ=5, значит А₁Т=9-5=4.
Так как плоскость ВВ₁М пересекает плоскость основания АВС по прямой ВМ, то она пересекает и верхнее основание по прямой, параллельной ВС, а это прямая В₁К. Плоскость ВВ₁М- это плоскость ВВ₁КМ.
КМ || AA₁. По условию М- середина АС, значит К - середина A₁C₁.КЕ- средняя линия треугольника А₁С₁Т.
Она делит сторону С₁Т пополам.
б) см. рисунок трапеции В₁ВМЕ ( рядом с призмой).
Треугольники В₁ВF и ЕМF подобны по двум углам.
B₁F:FM=9:7
Значит меньший из отрезков - это FM.
FM=(7/16)MB₁.
BM=2√3- высота равностороннего треугольника со стороной 4.
По теореме Пифагора
В₁M=√(9²+(2√3)²)=√93.
О т в е т. FM=7√93/16