Задача 22953 15) Решите неравенство...
Условие
(2^x+3*2^(-x))^(2log2x-log2(x+6)) > 1
Решение
{x > 0
{x+6 > 0
x ∈ (0;+ бесконечность )
Основание показательной функции
(2^x+3*2^(-x)) > 1 при любом х, так как решая данное неравенство методом замены переменной:
2^x=t; t > 0
2^(-x)=1/t
Получаем неравенство
(t+(3/t)) > 1
(t^2-t+3)/t > 0 - верное при любом t > 0
D=1=4*3 < 0
t^2-t+3 > 0 при любом t
Pyfxbn функция y=(2^x+3*2^(-x)) возрастает,
1=(2^x+3*2^(-x))^0
и
(2^x+3*2^(-x))^(2log_(2)x-log_(2)(x+6) ) > (2^x+3*2^(-x))^0
Значит
2log_(2)x-log_(2)(x+6) > 0
log_(2)x^2/(x+6) > log_(2)1
x^2/(x+6) > 1
(x^2-x-6)/(x+6) > 0
x^2-x-6=0
D=1+24=25
x1=(1-5)/2=-2 или х2=(1+5)/2=3
_-__ (-6) __+__ (-2) ___-__ (3) __+__
С учетом ОДЗ x > 0
получаем
О т в е т. (3;+ бесконечность )