Задача 21173 Высоты равнобедренного треугольника АВС...

slava191

16.12.2017

Высоты равнобедренного треугольника АВС с основанием АС пересекаются в точке Н, угол В равен 30 градусов. Луч СН второй раз пересекает окружность со, описанную вокруг треугольника АВН, в точке К.

а) Докажите, что ВА - биссектриса угла КВС.

б) Отрезок ВС пересекает окружность w в точке Е. Найдите BE, если АС = 12.

SOVA

16.12.2017

★

Пусть высота СH пересекает сторону АВ в точке М
СM⊥ AB
Δ ВМС - прямоугольный с острым углом В в 30 градусов, значит
∠BCМ=60 градусов.
Пусть высота АH пересекает сторону ВС в точке Р
СM⊥ AB
Аналогично, Δ ВАР- прямоугольный с острым углом В в 30 градусов, значит
∠BАР=60 градусов.

∠BKH=60 градусов, как опирающийся на ту же дугу ВН)
Значит, ΔKBC - равнобедренный, с углами при основании КС по 60 градусов.
КВ=ВС
Значит, ΔKBC - равносторонний, все углы треугольника 60 градусов.
∠АВС = 30 градусов, значит и ∠ КВМ=30 градусов.
и АВ - биссектриса ∠KBC.


Δ АКВ=ΔАВС по двум сторонам и углу между ними.
Значит АК=АС=12
Δ АКВ вписан в окружность, значит по теореме синусов
АК/sin 30 градусов=2R;
R=12.

Δ КВЕ вписан в окружность,

∠BKE=∠BKH-∠EKH=60 градусов-∠EBH=
=60 градусов -15 градусов = 45 градусов.
П теореме синусов
BE/sin 45 градусов =2R
ВЕ=2*12*(√2)/2=12√2

О т в е т. 12√2