Задача 11468 Вычислить интеграл...
Условие
Решение
Их три.
(3x^3+x+46)/(x-1)^2(x^+9) =
=A/(x-1) + B/(x-1)^2 + (Mx+N)/(x^2+9).
Приводим дроби справа к общему знаменателю и приравниваем числители
3х^3+x+46=A*(x-1)(x^2+9)+B*(x^2+9)+(Mx+N)*(x^2-2x+1)
Находим коэффициенты комбинированным способом.
1) метод частных значений
при х=1
3*1^3+1+46=A*0+B*10+(Mx+N)*0 ⇒ 50=10B ⇒
B=5
2) Равенство двух многочленов.
Раскрываем скобки справа
3x^3+x+46=A*(x^3-x^2+9x-9)+B*(x^2+9)+
+Mx^3-2Mx^2+Mx+Nx^2-2Nx+N
и записываем многочлен в стандартном виде:
3x^3+x+46=(A+M)x^3+(-A+B-2M+N)x^2+
+(9A+M-2N)x+(-9A+9B+N)
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:
{3=A+M; ⇒ M=3-A
{0=-A+B-2M+N; ⇒ A+2M-N=5
{1=9A+M-2N;
{46=-9A+9B+N. ⇒ 1+9A=N
Подставляем в третье уравнение:
1=9A+(3-A)-2*(1+9A)
0=-10A ⇒ A=0
M=3
N=1
О т в е т.
-(5/(x-1))+3/2 ln|x^2+9|+(1/3)arctg(x/3)+C.