Задача 28524 Решить дифф уравнение :...

u783020522

17.06.2018

Решить дифф уравнение : (1+x^2)y''+2xy'=x(1+x^2)

SOVA

21.06.2018

Разделим на (1+x^2)

y``+(2x/(1+x^2))*y`=x

Решаем однородное уравнение (#):

y``+(2x/(1+x^2))*y`=0

y`=u

u`+(2x/(`1+x^2))u=x

u`+(2x/(1+x^2))u=0

du/u=-2xdx/(1+x^2)

∫ du/u= - ∫ 2xdx/(1+x^2)

ln|u|=-ln|1+x^2|+lnC_(1)

u=C_(1)/(1+x^2)

y`=C_(1)/(1+x^2)

y=C_(1)arctg(1+x^2)+C_(2) - общее решение однородного уравнения (#)

Применяем метод вариации произвольных постоянных
y(х)=C_(1)(х)arctg(1+x^2)+C_(2)(х)
Находим
y`=C`_(1)(x)*arctg(1+x^2)+C_(1)(x)*(1/(1+x^2))+C`_(2)(x)

y``=C``_(1)(x)*arctg(1+x^2)+C_(2)(1/(1+x^2))+C1_(1)(x)*(1/(1+x^2))+C_(1)*(1/(1+x^2))`+C``_(2)(x)+C`_(2)*1

Подставляем в данное уравнение и находим С_(1) и С_(2)