1.область определения функции D(y)
2. Область изменения функции E(y)
3. Честность или нечетность функции
4.переодичность
5.нули функции
6.интервалы знака постоянства
2.) исследовать с помощью теории пределов
7.непрерывность функции
8.поведение функции на бесконечности (для этого вычислить пределы)
9.асимптоты граф. функции
3.) исследовать с помощью производной
10.экстремумы интервала
11.выпуклость, вогнутость функции в точках переживаю
4.) построение графика функции
12.найти точку пересечения с осью OY
13.дополнительные точки (4-6)
14.в системе координат XOY построить график функции
a.) x^3-x
б) x^2*e^-x
[b]y=x^3-x[/b]
1.область определения функции D(y)=(- ∞ ; + ∞ )
2. Область изменения функции E(y) =(-∞ ; + ∞ )
см. рис.
3. Чётность или нечётность функции-
нечётная, так как
f(-x)=-f(x)
(-x)^3 - (-x)= - x^3+x=-(x^3-x)
4.перИодичность - непериодическая
5.нули функции
y=0
x^3-x=0
x*(x^2-1)=0
x=0; x=1; x=-1
6.интервалы знака постоянства
__-__ (-1) _+__ (0) __-__(1) ____+__
y > 0 при -1< x< 0 и x > 1
y < 0 при x < -1 и -1 < x < 0
2.) исследовать с помощью теории пределов
7.непрерывность функции
непрерывна на R, как многочлен
8.поведение функции на бесконечности (для этого вычислить пределы)
lim_(x→+∞) y =+∞
lim_(x→ - ∞)y = - ∞
9.асимптоты граф. функции
Их нет
3.) исследовать с помощью производной
y`=3x^2 - 1
y`=0
3x^2-1=0
x= -1/sqrt(3) или х=1/sqrt(3)
_+__ (-1/sqrt(3)) ___-__ (1/sqrt(3)) __+__
Возрастает на (- ∞ ; -1/sqrt(3)) и на (1/sqrt(3); + ∞ )
Убывает на (-1/sqrt(3);1/sqrt(3))
x=-1/sqrt(3) - точка максимума
х=1/sqrt(3) - точка минимума
См. рис.1
б)
[b]y=x^2e^(-x)[/b]
1.область определения функции D(y)=(- ∞ ; + ∞ )
2. Область изменения функции E(y) =[0 ; + ∞ )
см. рис.
3. Четность или нечетность функции
f(-x)=(-x)^2e^(-(-x))=x^2e^(x)
f(-x)≠ f(x)
f(-x) ≠ -f(x)
функция не является ни чЁтной ни нечЁтной
4.перИодичность - непериодическая
5.нули функции
y=0
x^2*e^(-x)=0 так как e^(-x) > 0 при любом х, то
x=0
6.интервалы знака постоянства
y ≥ 0 при любом х
2.) исследовать с помощью теории пределов
7.непрерывность функции
непрерывна на R, как произведение непрерывных функций
8.поведение функции на бесконечности (для этого вычислить пределы)
lim_(x→+∞)(x^2*e^(-x)= lim_(x→ +∞)2/e^(x) x^2/e^(x)=(∞/∞)
применяем правило Лопиталя
lim_(x→+∞) 2x/e^(x)(∞/∞)
применяем правило Лопиталя
lim_(x→ +∞)2/e^(x) =0
lim_(x→ - ∞)x^2*e^(-x) = + ∞
9.асимптоты граф. функции
y=0 - горизонтальная асимптота на + ∞
3.) исследовать с помощью производной
y`=(x^2*e^(-x))`=(x^2)`*e^(-x)+x^2*(e^(-x))`=2x*e^(-x)+x^2*e^(-x)*(-x)`=
=2x*e^(-x)+x^2*e^(-x)*(-1)=x*e^(-x)*(2-x)
y`=0
x=0 или 2-х =0
_-__ (0) ___+__ (2) __-__
Возрастает на (0;2)
Убывает(- ∞ ;0) и на (2; + ∞ )
x=2 - точка максимума
х=0 - точка минимума
См. рис.2