Задача 40965 (y^2+xy)dx-x^2dy=0 решить...

vk289444173

2019-10-24 22:23:50

(y^2+xy)dx-x^2dy=0 решить дифференциальное уравнение

sova

2019-10-24 23:26:02

★

y`=[m]\frac{dy}{dx}[/m]

y^2+xy=x^2*y`

y`=[m]\frac{y^2+xy}{x^2}[/m]

y`=[m]\frac{y^2}{x^2}+\frac{xy}{x^2}[/m]

y`=[m](\frac{y}{x})^2+\frac{y}{x}[/m] - однородное уравнение первого порядка.
Замена
[m]u=\frac{y}{x}[/m]

y=u*x
y`=u`*x+u*x`
x`=1

y`=u`*x+u

Уравнение принимает вид:

u`*x+u=u^2+u

u`*x=u^2- уравнение с разделяющимися переменными:

x*du=u^2dx
[m]\frac{du}{u^2}=\frac{dx}{x}[/m]

Интегрируем:
[m]\int \frac{du}{u^2}=\int \frac{dx}{x}[/m]

[m]-\frac{1}{u}=ln|x|+C[/m]

Обратная замена:
[m]u=\frac{y}{x}[/m]

[m]-\frac{x}{y}=ln|x|+C[/m] - о т в е т.