Задача 8172 [block]Решите неравенство (2)/(5^x-1) +...
Условие
Решение
5^(x)= t
t > 0
Неравенство принимает вид:
[m]\frac{2}{t-1}+\frac{t-2}{t-3} ≥ 2[/m]
[m]\frac{2}{t-1}+\frac{t-2}{t-3} - 2 ≥ 0[/m]
[m]\frac{2(t-3)+(t-2)(t-1)-2(t-1)(t-3)}{(t-1)(t-3)} ≥ 0[/m]
[m]\frac{2t-6+t^2-3t+2-2t^2+8t-6}{(t-1)(t-3)} ≥ 0[/m]
[m]\frac{-t^2+7t-10}{(t-1)(t-3)} ≥ 0[/m]
[m]\frac{(t-2)(t-5)}{(t-1)(t-3)} ≤ 0[/m]
____ (1) _-__ [2] ___ (3) ___-___ [5] ____
Oтвет можно записать в виде совокупности двух двойных неравенств:
[blue]1 < t ≤ 2 [/blue] или 3 < t ≤ 5
Обратная замена
[blue]1<5^(x)≤2[/blue]
или
3<5^(x)≤5
[blue]5^(0)<5^(x)≤5^(log(5)(2))[/blue]
или
5^(log(5)(3))<5^(x)≤5
Так как показательная функция с основанием 5> 1 -возрастающая, значит большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
[blue]0<x≤log(5)(2)[/blue]
или
log(5)(3)<x≤1
О т в е т. (0; log(5)(2)]U(log(5)(3);1]
