Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 16798 Дана правильная треугольная пирамида...

Условие

Дана правильная треугольная пирамида SABC. Её боковое ребро BS равно 9, высота SH пирамиды равна 3sqrt(5). Точка М — середина ребра ВС, а точка Т — середина отрезка SM.

а) Докажите, что АТ — высота пирамиды, проведённая к грани SBC.

б) Найдите расстояние между прямыми АТ и SB.

математика 10-11 класс 12435

Решение

Дано: Δ АВС- равносторонний,
SA=SB=SC=9;
SO=3sqrt(5);
О- центр вписанной в Δ АВС окружности и центр описанной около треугольника АВС окружности.
АО=ВО=СО=R
OM=r
В правильном треугольнике высота является одновременно медианой и биссектрисой.
Высоты пересекаются в точке О.
О-точка пересечения медиан.
Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
R=2h/3
r=h/3
r=R/2


По теореме Пифагора из Δ SOB
OB=R=sqrt(SB^2-SO^2)=sqrt(9^2-(3sqrt(5))^2)=sqrt(81-45)=sqrt(36)=6

OM=r=3
АМ=h=AO+OM=R+r=6+3=9

Значит, треугольник SAM- равнобедренный
SA=9 и AM=9
Медиана АТ (ST=TM по условию) этого треугольника является одновременно и высотой.
АТ ⊥ SM
Так как ВС ⊥ SM и ВС⊥ AM, то BC ⊥ пл. (SAM) ⇒ BC ⊥ AT
АТ перпендикулярна двум пересекающимся прямым пл. (SBC) ( SM и BC), значит АТ перпендикулярна пл. (SBC).

б)
По теореме Пифагора из треугольника SOM
SM=sqrt(SO^2+OM^2)=sqrt((3sqrt(5))^2+3^2)=sqrt(45+9)=sqrt(54)
По теореме Пифагора из треугольника SBM
BM=sqrt(SB^2-SM^2)=sqrt(9^2-(sqrt(54))^2)=sqrt(81-54)=sqrt(27)=3sqrt(3)
Прямоугольный Δ SBM подобен прямоугольному Δ SKT по острому углу ∠ ВSM.
Из подобия
KT:BM=ST:SB
KT:3sqrt(3)=((sqrt(54))/2) : 9
KT=(3sqrt(2))/2
О т в е т. (3sqrt(2))/2

Все решения

Мое решение. Без доказательства и без каких-либо пояснений. Лучшим решение будет выбрано другое! Жду ваших решений!

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК