а) Докажите, что АТ — высота пирамиды, проведённая к грани SBC.
б) Найдите расстояние между прямыми АТ и SB.
SA=SB=SC=9;
SO=3sqrt(5);
О- центр вписанной в Δ АВС окружности и центр описанной около треугольника АВС окружности.
АО=ВО=СО=R
OM=r
В правильном треугольнике высота является одновременно медианой и биссектрисой.
Высоты пересекаются в точке О.
О-точка пересечения медиан.
Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
R=2h/3
r=h/3
r=R/2
По теореме Пифагора из Δ SOB
OB=R=sqrt(SB^2-SO^2)=sqrt(9^2-(3sqrt(5))^2)=sqrt(81-45)=sqrt(36)=6
OM=r=3
АМ=h=AO+OM=R+r=6+3=9
Значит, треугольник SAM- равнобедренный
SA=9 и AM=9
Медиана АТ (ST=TM по условию) этого треугольника является одновременно и высотой.
АТ ⊥ SM
Так как ВС ⊥ SM и ВС⊥ AM, то BC ⊥ пл. (SAM) ⇒ BC ⊥ AT
АТ перпендикулярна двум пересекающимся прямым пл. (SBC) ( SM и BC), значит АТ перпендикулярна пл. (SBC).
б)
По теореме Пифагора из треугольника SOM
SM=sqrt(SO^2+OM^2)=sqrt((3sqrt(5))^2+3^2)=sqrt(45+9)=sqrt(54)
По теореме Пифагора из треугольника SBM
BM=sqrt(SB^2-SM^2)=sqrt(9^2-(sqrt(54))^2)=sqrt(81-54)=sqrt(27)=3sqrt(3)
Прямоугольный Δ SBM подобен прямоугольному Δ SKT по острому углу ∠ ВSM.
Из подобия
KT:BM=ST:SB
KT:3sqrt(3)=((sqrt(54))/2) : 9
KT=(3sqrt(2))/2
О т в е т. (3sqrt(2))/2