Задача 37804 Боковое ребро правильной четырехугольной...

alexander1962

2019-05-30 11:05:47

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно l. Двугранный угол при боковом ребре вдвое больше двугранного угла при основании. Найти объем вписанного в эту пирамиду цилиндра с основанием, лежащим на основании пирамиды, если осевое сечение цилиндра представляет из себя квадрат.

sova

2019-05-30 11:35:24

★

V_(цилиндра)=S_(осн)*H=π*r^2*H

Так как осевое сечение цилиндра квадрат , то
[b]2r=H[/b]

Тогда V_(цилиндра)=π*(H/2)^2*H


Квадрат вписан в равнобедренный треугольник EMN, c острым углом α
[b]tg α[/b] =H/((a/2)-r)= [b]2H/(a-H)[/b]

где а - сторона квадрата

Используя "метод площадей" ( равенство выражений для нахождения площади одной и той же фигуры)
находим KD из треугольника ЕKD

EM*DC=EC*KD
ЕС=L
DC=a
ЕМ=sqrt(EC^2-МС^2)=sqrt(L^2-(a/2)^2)

sqrt(L^2-(a/2)^2)* a= L*KD

[b]KD=sqrt(L^2-(a/2)^2)* a/L[/b]
BK=KD

По теореме косинусов из треугольника BKD.

BD^2=BK^2+KD^2-2*BK^KD*cos2 α

BD=asqrt(2)- диагональ квадрата со стороной а

2a^2=2*(L^2-(a/2)^2)*a^2/L^2 - 2* *(L^2-(a/2)^2)*a^2cos2 α /L^2 ⇒

a^2*L^2=((L^2-(a/2)^2)*a^2/L^2)*(1-cos2 α ) ⇒ a выражаем через L и соs2 α

Из равенства [b]tg α[/b] =H/((a/2)-r)= [b]2H/(a-H)[/b] находим Н через a и угол α, а значит и через L и угол α

Подставляем в формулу

V_(цилиндра)=π*(H/2)^2*H [b]=π*(H^3)/4[/b]