Задача 32103 Найти координаты точки, симметричной...

vk195263847

18 декабря 2018 г. в 21:54

Найти координаты точки, симметричной точке A = (1, –4, –3) относительно плоскости, заданной уравнением –2 · x – 3 · y – 2 · z + 1 = 0.

sova

18 декабря 2018 г. в 22:10

Составим уравнение прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной плоскости

При этом нормальный вектор плоскости n=(–2;–3 ;–2) является направляющим вектором прямой.

(х–1)/(–2)=(y+4)/(–3)=(z+3)/(–2)

Перейдем от этого уравнения к параметрическому:

(х–1)/(–2)=(y+4)/(–3)=(z+3)/(–2) = t ⇒

x=–2t+1
y=–3t –4
z=–2t–3

Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости.
Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости

–2·(–2t+1)–3·(–3t–4)–2·(–2t–3)+1=0

t=–1
При t=–1
x=3; y=–1; z=–1

M(3;–1;–1) – проекция точки А на плоскость.

По свойству симметричных точек,
АМ=МА₁

Поэтому
х_M=(x_A+x_A1)/2 ⇒(1+ x_A1)/2=3 ⇒ x_A1=5
y_M=(y_A+y_A1)/2 ⇒ y_A1=2
z_M=(z_A+z_A1)/2 ⇒ z_A1=1

О т в е т. (5;2;1)