Задача 36379 ...

vk379273838

25 апреля 2019 г. в 15:52

1)
[m]|\cos x| - \sqrt{3} \cos \left(\frac{9\pi}{2} - x\right)=1[/m]

2)
[m]\sqrt{\sin x \sin 3x} = \cos x[/m]

3)
[m]\log_{\cos x} (\cos³x - \sin² x) − 2\sin² x + 5 \sin 2x) = 0[/m]

sova

25 апреля 2019 г. в 21:47

1) cos((9π/2)+x)= cos(4π+(π/2)+x)=cos((π/2)+x)=–sinx
|cosx|+√3sinx=1

cosx ≥ 0 ⇒ |cosx|=cosx
cosx+√3sinx=1
Метод введения вспомогательного угла
(1/2)сosx+(√3/2)·sinx=1/2
cos(x–(π/3))=1/2
x–(π/3)= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z
x=(π/3) ± (π/3)+2πn, n ∈ Z

x= 2πn, n ∈ Z или х= (2π/3)+2πn, n ∈ Z

cosx<0 ⇒ |cosx|= –cosx
–cosx+√3sinx=1
Метод введения вспомогательного угла
(1/2)сosx–(√3/2)·sinx=–1/2
cos(x+(π/3))=–1/2

x+(π/3)= ± (2π/3)+2πm, m ∈ Z
x=(–π/3) ± (2π/3)+2πm, m ∈ Z

x= (π/3)+2πm, m ∈ Z
x= – π+2πm, m ∈ Z


2.
cosx≥ 0 ⇒ x в 1 или в 4 четверти

Возводим в квадрат
sinx·sin3x=cos²x

Формулы
sin α ·sin β =
cos²α=(1+cos2α)/2


(1/2)cos2x–(1/2)cos4x=(1+cos2x)/2

cos2x–(2cos²2x–1)=1+cos2x

2cos²2x=0
cos2x=0
2x=(π/2)+πm, m ∈ Z
x=π/4+(π/2)m, m ∈ Z, но x в 1 или в 4 четверти
⇒

х= ± (π/4)+2πn, n ∈ Z

3.

ОДЗ:
{сosx>0 – х в первой или четвертой четверти
{cosx ≠1 ⇒ х≠2πk, k ∈ Z

Так как
log_cosx(sin²x+cos²x)=log_cosx1=0

уравнение принимает вид:
–2sin²x+5sin2x=0

–2sin²x+5·2·sinx·cosx=0

–2sinx·(sinx–5cosx)=0

sinx=0 ⇒ x=πm, m ∈ Z

sinx–5cosx=0 ⇒ tgx=5 x=arctg5+πn, n ∈ Z

Так как согласно ОДЗ
сosx>0 и сosx≠1


х=arctg5+2πn, n ∈ Z – о т в е т.