Задача 44284 Из города в деревню одновременно...

slava191

2020-02-15 17:49:05

Из города в деревню одновременно отправились бегун Б и пешеход П1 , а в тот же момент из деревни в город вышел пешеход П2 . Скорости пешеходов были равны. Встретившись, Б и П2 некоторое время стояли на месте, а затем направились в деревню. При этом Б побежал с прежней скоростью, равной 12 км/ч, а П2 уменьшил свою скорость в полтора раза. В результате в деревню сначала прибежал Б, а затем через промежуток времени, в два раза больший длительности встречи Б и П2 , одновременно пришли оба пешехода. Найти скорость пешехода П1

sova

2020-02-15 23:01:02

Г (город) ________ М (место встречи) _______ Д (деревня).

Пусть первоначальная скорость пешехода П_(1) и пешехода П_(2) равна [b]v[/b] км в час

На обратном пути от места встречи до деревни МД скорость пешехода П_(2) уменьшилась в полтора раза, т.е

v:1,5=[b](2v/3)[/b] км в час.

Вводим разные обозначения для времени:

Пусть до встречи Б и П_(2) прошло [b]х[/b] час.

Время стоянки равно[b] y[/b] час,

Б на путь МД затратил [b]z[/b] час.

и по условию на путь МД пешеход П_(2) затратил [b]2y[/b] час.


Путь Б: ГM=12x; [green]MД=12z[/green]
Путь П_(2): [green] ДМ=vx[/green]; MД=(2/3)v*(z+2y) ⇔ vx=(2/3)v(z+2y) ⇒ [b]x=(2/3)(z+2y)[/b]
Время П_(2): x + y +z+2y=x+3y+z

Время П_(1) равно времени П_(2)

Cо скоростью v км в час П_(1) прошел путь: ГД= v*(x+3y+z)

ГД=ГМ+МД

[red] v*(x+3y+z)=12x+12z[/red]

Получаем систему:

{[b]x=(2/3)(z+2y)[/b] ⇒ y=[m]\frac{3}{4}[/m]x-[m]\frac{1}{2}[/m]z
{[green]12z=vx[/green]
{[red] v*(x+3y+z)=12x+12z[/red]

{v=[m]\frac{12z}{x}[/m]
{y=[m]\frac{3}{4}[/m]x-[m]\frac{1}{2}[/m]z
{[m]\frac{12z}{x}[/m]*(x+3*([m]\frac{3}{4}[/m]x-[m]\frac{1}{2}[/m]z)+z)=12x+12z

Решаем третье уравнение:
[m]\frac{z}{x}[/m]*(x+3*([m]\frac{3}{4}[/m]x-[m]\frac{1}{2}[/m]z)+z)=x+z

[b]4x^2-9xz+2z^2=0 [/b]

D=(-9z)^2-4*4*2z^2=81z^2-32z^2=49z^2

x=2z или x=z/4

И подставляем в выражение для v:

v=[m]\frac{12z}{2z}=6[/m] или v=[m]\frac{12z}{\frac{z}{4}}=48[/m]

О т в е т. 6 км в час. ( 48 не подходит по смыслу задачи)