Задача 28873 3. Решите уравнение...

slava191

7 октября 2018 г. в 00:00

3. Решите уравнение

17cos⁶(π/4–x)+7sin⁶(π/4+x) = 3

SOVA

7 октября 2018 г. в 00:00

★

Применяем формулы понижения степени:
cos² α =(1 + cos2 α )/2
sin² α = (1 – cos2 α)/2

cos⁶((π/4)–x)=(cos²((π/4)–x))³
cos²((π/4)–x)=(1+cos((π/2)–2x))/2=(1+sin2x)/2
cos⁶((π/4)–x)=(1+sin2x)³/8

sin⁶((π/4)+x)=(sin²((π/4)+x))³
sin²((π/4)+x)=(1–cos(π/2)+2x)/2=(1–(–sin2x))/2=(1+sin2x)/2
sin⁶((π/4)+x)=(1+sin2x)³/8

Уравнение принимает вид:

(17/8)·(1+sin2x)³+(7/8)(1+sin2x)³=3

((17/8)+(7/8))·(1+sin2x)³=3

3·(1+sin2x)³=3

1+sin2x=1
sin2x=0 ⇒ 2х=πn, n ∈ Z ⇒x=(π/2)·n, n ∈ Z

О т в е т.(π/2)n, n ∈ Z