Задача 29507 9.7. Окружность радиуса sqrt(3),...

slava191

2018-09-07 20:33:10

9.7. Окружность радиуса sqrt(3), вписанная в прямоугольный треугольник АВС с углом угол A = 30° , касается катета АС в точке К. Найдите ВК

sova

2018-09-07 21:55:09

★

В прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы.

Пусть АВ=2х, тогда ВС=х

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.

СM=CK=r=sqrt(3);

BM=BP=x - sqrt(3);

AP=AK= 2x-(x-sqrt(3))=x+sqrt(3)

Значит,
АС=sqrt(3) + (x+sqrt(3))=x+2sqrt(3)

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВС
AB^2=AC^2+BC^2

Уравнение:

(2x)^2=(x+2sqrt(3))^2+x^2

4x^2=x^2+4sqrt(3)x+12+x^2

2x^2-4sqrt(3)x-12=0

x^2-2sqrt(3)x - 6=0

D=(2sqrt(3))^2-4*(-6) = 12+24=36

x_(1)=(2sqrt(3)+6)/2 = sqrt(3) +3

x_(2)=(2sqrt(3)-6)/2 < 0 и не удовлетворяет смыслу задачи

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
ВСК:
ВК^2=BC^2+CK^2=(sqrt(3)+3)^2+(sqrt(3))^2=3+6sqrt(3)+9+3=
=15+6sqrt(3)
BK=sqrt(15+6sqrt(3))