Задача 42373 Дано комплексное число a=4/1-i ....

vk506281965

7 декабря 2019 г. в 20:37

Дано комплексное число a=4/1–i . Требуется: 1) записать число a в алгебраической и тригонометрической форме; 2) найти все корни уравнения z³=a²

sova

7 декабря 2019 г. в 22:16

★

Умножаем и числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, т.е на (1+i)

a=4·(1+i)/(1–i)·(1+i)=(4+4i)/(1–i²)=(4+4i)/(1–i²)=(4+4i)/2=2+2i – в алгебраической форме вида x+iy

при этом
x=2; y=2

см. переход от алгебраической к тригонометрической в приложении 1

|z|=√2²+2²=√8

tg φ =y/x=2/2=1 ⇒ φ =π/4

a=√8·(cos(π/4)+isin(π/4)) – в тригонометрической форме

2)

a²=(2+2i)²=4+8i+4i²=4+8i–4=8i


Запишем a² в тригонометрической форме:

a²=8·(cos(π/2)+isin(π/2))

Решаем уравнение:

z³=8i

Извлекаем корень кубический . Применяем формулу

( см. приложение 2)

∛(8i)=∛8·[m](cos\frac{\frac{\pi}{2}+2 \pi k}{3}+isin\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k}{3})[/m], k ∈ Z

при k=0
первый корень
z_o=2·[m](cos\frac{\pi}{6}+isin\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}+i[/m]

при k=1
второй корень
z₁=2·[m](cos \frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}+isin \frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3})=2\cdot (cos\frac{5\pi}{6}+isin\frac{5\pi}{6})=-\sqrt{3}+i[/m]

при k=2
третий корень
z₂=2·[m](cos\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}+isin\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3})=2\cdot (cos\frac{3\pi}{2}+isin\frac{3\pi}{2})=-i[/m]

Корни расположены на окружности радиуса 2

Точки z_o;z₁;z₂ делят окружность на три ( потому что корень третьей степени) равные части, каждая по 120 °
(cм. рис 3)