Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 37990 Помогите решить подробно написать ...

Условие

Помогите решить подробно написать
sqrt(2)(sinx+cosx)=tgx+ctgx

математика 10-11 класс 2981

Решение

Все решения

tgx+ ctgx=(sinx/cosx)+ (cosx/sinx)
ОДЗ:
{sinx ≠ 0
{cosx ≠ 0


tgx + ctgx=(sin^2x+ cos^2x)/(sinxcosx)

tgx+ ctgx=1/(sinx*cosx)


Замена переменной

[b]sinx+ cosx=t[/b]


Возводим в квадрат:

sin^2x+ 2sinx*cosx + cos^2x=t^2 ⇒

2sinxcosx=t^2-1

sinx*cosx=(t^2-1)/2


Уравнение принимает вид:

√2 *t =2/(t^2-1)

{√2* t^3- √2t - 2 =0 ⇒ [b] t^3- t -√2=0[/b]
{t^2-1 ≠ 0 ⇒ [b]t ≠ ± 1[/b]

t^3- t -√2=0

t=√2- корень уравнения, так как (√2)^3-√2-√2=0 - верно.

(t-√2)*(t^2 + √2t + 1)=0

Квадратное уравнение
t^2 +√2t + 1 =0 корней не имеет, т.к D=2-4 < 0

Обратный переход

sinx + cosx=√2

sinx +sin((π/2)-x)=√2

[формула sinα+sinβ =]

2sin(π/4) * cos( x-(π/4))=√2

2*(sqrt(2)/2)*cos( x-(π/4))=√2

cos(x-(π/4))=1

х-(π/4)=2πn, n ∈ Z

[b]х=(π/4)+ 2πn, n ∈ Z[/b] удовлевторяет ОДЗ

О т в е т. (π/4) +2πn, n ∈ Z

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК