Задача 37990 Помогите решить подробно написать ...

rimolog

5 июня 2019 г. в 23:43

Помогите решить подробно написать
√2(sinx+cosx)=tgx+ctgx

sova

6 июня 2019 г. в 14:52

tgx+ ctgx=(sinx/cosx)+ (cosx/sinx)
ОДЗ:
{sinx ≠ 0
{cosx ≠ 0


tgx + ctgx=(sin²x+ cos²x)/(sinxcosx)

tgx+ ctgx=1/(sinx·cosx)


Замена переменной

sinx+ cosx=t


Возводим в квадрат:

sin²x+ 2sinx·cosx + cos²x=t² ⇒

2sinxcosx=t²–1

sinx·cosx=(t²–1)/2


Уравнение принимает вид:

√2 ·t =2/(t²–1)

{√2· t³– √2t – 2 =0 ⇒ t³– t –√2=0
{t²–1 ≠ 0 ⇒ t ≠ ± 1

t³– t –√2=0

t=√2– корень уравнения, так как (√2)³–√2–√2=0 – верно.

(t–√2)·(t² + √2t + 1)=0

Квадратное уравнение
t² +√2t + 1 =0 корней не имеет, т.к D=2–4 < 0

Обратный переход

sinx + cosx=√2

sinx +sin((π/2)–x)=√2

[формула sinα+sinβ =]

2sin(π/4) · cos( x–(π/4))=√2

2·(√2/2)·cos( x–(π/4))=√2

cos(x–(π/4))=1

х–(π/4)=2πn, n ∈ Z

х=(π/4)+ 2πn, n ∈ Z удовлевторяет ОДЗ

О т в е т. (π/4) +2πn, n ∈ Z