Задача 29197 4. Решите неравенство...

slava191

8 февраля 2018 г. в 00:00

4. Решите неравенство

(√3+√2)^{log_{(√3–√2)} x} ≥ (√3–√2)^{log_x(√3+√2)}

SOVA

8 февраля 2018 г. в 00:00

★

ОДЗ:
{x > 0
{x ≠1

Так как (√3+√2)·(√3–√2)=1,
то
(√3–√2)=1/(√3+√2)=(√3+√2)^–1

Неравенство можно записать в виде:
(√3+√2)^{log_√3–√2x} ≥ ((√3+√2)^–1)^{log_x√3+√2}
или
(√3+√2)^(log_√3–√2x ≥ (√3+√2)^{–log_x(√3+√2)
Основание показательной функции
(√3+√2) > 1, функция возрастает, поэтому
log_√3–√2x ≥ –log_x√3+√2}
log_√3–√2x ≥ log_x(√3+√2)^–1

log_√3–√2x ≥ log_x(√3–√2)
Пусть t=log_√3–√2x
Решаем неравенство:
t ≥ 1/t
(t–1)(t+1)/t ≥ 0
–1 ≤ t < 0 или t ≥ 1
Обратная замена
–1 ≤ log_√3–√2x < 0 или log_√3–√2x ≥ 1

Логарифмическая функция с основанием (√3–√2) убывающая.
Поэтому с учетом ОДЗ

0 < x ≤ √3–√2 или 1 < x ≤ √3+√2

О т в е т. (0;√3–√2]U(1;√3+√2]