Задача 43601 ...

azot

22 января 2020 г. в 20:07

log_1–2x (3– x) + log_{3– x} √2x² – 7x + 3 = 2

ОДЗ:
{
1 – 2x > 0
1 – 2x ≠ 1
3 – x > 0
3 – x ≠ 1
}

sova

22 января 2020 г. в 20:12

★

ОДЗ:
{1–2x >0 ⇒ x < 0,5
{1–2x ≠ 1 ⇒ x ≠ 0
{3–x >0 ⇒ x < 3
{3–x ≠ 1 ⇒ x ≠ 2
{ 2x²–7x+3 > 0 ⇒ D=49–4·2·3=25; корни 0,5 и 3; x < 0,5 или x > 3

x ∈ (– ∞ ;0) U (0;0,5)


2x²–7x+3=(2x–1)(x–3)=(1–2x)(3–x)

log_3–x√2x²–7x+3=log_{(3–x)(2x–1)(x–3)}^1/2=

=(1/2)log_3–x(1–2x) +(1/2) log_3–x(3–x)=(1/2)log_3–x(1–2x) + (1/2)


Уравнение принимает вид:

log_1–2x(3–x) +(1/2)log_3–x(1–2x) + (1/2)=2

Замена:
log_1–2x(3–x) =t

log_3–x(1–2x) =1/t

t + (1/2t)–3/2=0

2t²–3t+1=0

D=9–4·2·1=1

t₁=1/2 или t₂=1

Обратная замена:
log_1–2x(3–x) =1/2 или log_1–2x(3–x) =1


log_1–2x(3–x) =1/2

2·log_1–2x(3–x) =1

log_1–2x(3–x)² =1

1–2x=(3–x)²

x²–4x+8=0

D < 0 нет корней

log_1–2x(3–x) =1

1–2х=3–х

x=–2 входит в ОДЗ

О т в е т. –2