Задача 44290 В контейнер упакованы комплектующие...

slava191

15 февраля 2020 г. в 17:58

В контейнер упакованы комплектующие изделия трех типов. Стоимость и вес изделия составляют 400 тыс.руб. и 12 кг для первого типа, 500 тыс.руб. и 16 кг для второго типа, 600 тыс.руб. и 15 кг для третьего типа. Общий вес комплектующих равен 326 кг. Определить минимальную и максимальную возможную суммарную стоимость находящихся в контейнере комплектующих изделий.

sova

15 февраля 2020 г. в 18:36

★

Пусть изделий первого типа х штук, изделий второго типа y штук,
изделий третьего типа z штук

По условию:
12x+16y+15z=326

Тогда общая стоимость

400x+500y+600z ( руб)

Обозначим эту сумму

f(x;y;z)=400x+500y+600z

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения
функции f(x;y;z)

при условии

12x+16y+15z=326

x>0; y>0; z>0

x; y;z – целые.

В силу целочисленности х;y;z применяем метод перебора

12x+16y+15z=326 ⇒

15z=326–12x–16y

15z=2·(163–6x–8y) ⇒

z– кратно 2, и тогда

z=2n; n ≥ 0 ; n – целое

12x+16y+15·2n=326

6x+8y+15n=163 ⇒ n– нечётное, так как сумма четных 6х+8у есть число четное,

n=2k+1, k ≥ 0, k –целое

6x+8y+15·(2k+1)=163;

6x+8y+30k=148;

Делим на 2

3x+4y+15k=74 ⇒ 3x и 15k кратны трем

74 при делении на 3 дает остаток 2, значит и y при делении на 3 дает остаток 2

y=3m+2, m ≥ 0; m– целое

3x+4·(3m+2)+15k=74;

3x+12m+8+15k=74

3x+12m+15k=66

Делим на 3:

x+4m+5k=22 ⇒ x=22–4m–5k


Упростим

f(x;y;z)=400x+500y+600z

f(x;y;z)=100·(4x+5·y+6·z)=100·(4x+5·(3m+2)+6·2·n)=

=100·(4x+15m+10+12·(2k+1))=

=100·(4x+15m+24k+22)=

=100·(4·(22–4m–5k)+15m+24k+22)=

=100·(110–m+4k)

Задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значения

g(m;k)=110–m+4k,

при условии x+4m+5k=22
m ≥ 0
k ≥ 0
m, k– целые

Из условия x+4m+5k=22
k ≤ 4 ⇒

g(m;k)=110–m+4k, при m=0 наибольшее значение.

x=2; m=0; k=4 g(2;0;4)=110–0+16=126, тогда f=100·126=12 600– наибольшее
x=2; m=5;k=0 g(2;5;9)=110–5=105; f=100·105=10500 – наименьшее

О т в е т. 10 500 тыс. руб. – наименьшее
12 600 тыс. руб.– наибольшее