Задача 44290 В контейнер упакованы комплектующие...

slava191

2020-02-15 17:58:52

В контейнер упакованы комплектующие изделия трех типов. Стоимость и вес изделия составляют 400 тыс.руб. и 12 кг для первого типа, 500 тыс.руб. и 16 кг для второго типа, 600 тыс.руб. и 15 кг для третьего типа. Общий вес комплектующих равен 326 кг. Определить минимальную и максимальную возможную суммарную стоимость находящихся в контейнере комплектующих изделий.

sova

2020-02-15 18:36:02

★

Пусть изделий первого типа х штук, изделий второго типа y штук,
изделий третьего типа z штук

По условию:
12x+16y+15z=326

Тогда общая стоимость

400x+500y+600z ( руб)

Обозначим эту сумму

f(x;y;z)=400x+500y+600z

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения
функции f(x;y;z)

при условии

[b]12x+16y+15z=326[/b]

x>0; y>0; z>0

x; y;z - целые.

В силу целочисленности х;y;z применяем метод перебора

[b]12x+16y+15z=326[/b] ⇒

15z=326-12x-16y

15z=2*(163-6x-8y) ⇒

z-[i] кратно[/i] 2, и тогда

[b]z=2n[/b]; n ≥ 0 ; n - целое

[b]12x+16y+15*2n=326[/b]

[b]6x+8y+15n=163[/b] ⇒ n- нечётное, так как сумма[i] четных[/i] 6х+8у есть число [i]четное[/i],

[b]n=2k+1[/b], k ≥ 0, k -целое

6x+8y+15*(2k+1)=163;

6x+8y+30k=148;

Делим на 2

[b]3x+4y+15k=74[/b] ⇒ 3x и 15k кратны трем

74 при делении на 3 дает остаток 2, значит и y при делении на 3 дает остаток 2

[b]y=3m+2[/b], m ≥ 0; m- целое

3x+4*(3m+2)+15k=74;

3x+12m+8+15k=74

3x+12m+15k=66

Делим на 3:

[b]x+4m+5k=22[/b] ⇒ x=22-4m-5k


Упростим

f(x;y;z)=400x+500y+600z

f(x;y;z)=100*(4x+5*y+6*z)=100*(4x+5*(3m+2)+6*2*n)=

=100*(4x+15m+10+12*(2k+1))=

=100*(4x+15m+24k+22)=

=100*(4*(22-4m-5k)+15m+24k+22)=

=100*(110-m+4k)

Задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значения

[red]g(m;k)=110-m+4k,[/red]

при условии [b]x+4m+5k=22[/b]
m ≥ 0
k ≥ 0
m, k- целые

Из условия [b]x+4m+5k=22[/b]
k ≤ 4 ⇒

[red]g(m;k)=110-m+4k,[/red] при m=0 наибольшее значение.

x=2; m=0; k=4 g(2;0;4)=110-0+16=126, тогда f=100*126=12 600- наибольшее
x=2; m=5;k=0 g(2;5;9)=110-5=105; f=100*105=10500 - наименьшее

О т в е т. 10 500 тыс. руб. - наименьшее
12 600 тыс. руб.- наибольшее