Задача 50328 ...

vk121893365

15 мая 2020 г. в 22:59

Решите неравенство log²_x (x + 2) ≤ log²_x+2 x.

sova

15 мая 2020 г. в 23:07

ОДЗ:
{x>0
{x ≠ 1
{x+2>0
{x+2 ≠ 1


[m]log_{a}b=\frac{1}{log_{b}a}[/m] a>0; b>0; a ≠ 1; b ≠ 1 ⇒

[m]log_{x}(x+2) ≤ \frac{1}{log_{x}(x+2)[/m]


[m]log^2_{x}(x+2) ≤ log^2_{x+2}x[/m]

[m]log^2_{x}(x+2) - log^2_{x+2}x ≤ 0[/m]

[m](log_{x}(x+2) - log_{x+2}x)\cdot (log_{x}(x+2) + log_{x+2}x ) ≤ 0[/m]

[m](log_{x}(x+2) - \frac{1}{log_{x}(x+2)})\cdot (log_{x}(x+2) +\frac{1}{log_{x}(x+2)} ) ≤ 0[/m]

[m]\frac{(log^2_{x}(x+2)-1)(log^2_{x}(x+2)+1)}{log^2_{x}(x+2)} ≤ 0[/m]

[m]^2_{x}(x+2)+1 ≥ 0[/m] при всех х принадлежащих ОДЗ

[m]log^2_{x}(x+2) > 0[/m] при всех х принадлежащих ОДЗ


[m]log^2_{x}(x+2)-1≤ 0[/m]

[m](log_{x}(x+2)-1)(log_{x}(x+2)+1)≤ 0[/m]


Применяем обобщенный метод интервалов:

[m]log_{x}(x+2)-1=0[/m] ; [m]log_{x}(x+2)+1=0[/m] ⇒ [m]x+2=\frac{1}{x}[/m] ⇒ [m]\frac{x^2+2x-1}{x}=0[/m]

D=4+4=8; корни –1 ± √2

__+___ [–1–√2] – _ (0) _+_ [–1+√2] _–___ (1) __+__

С учетом ОДЗ: x >0

О т в е т. [–1+√2;1)