Задача 52727 Найдите все значения параметра, при...

tupiza

26 июня 2020 г. в 18:20

Найдите все значения параметра, при которых уравнение

√x⁴+x²–5a²=√x⁴–4ax

имеет ровно одно решение.

sova

26 июня 2020 г. в 20:55

{x⁴+x²–5a² ≥ 0
{x⁴–4ax ≥ 0
{x⁴+x²–5a²=x⁴–4ax ⇒ x²+4ax–5a²=0 ⇒ D=16a²+20a²=36a²

x₁=–5a; x₂=a

Чтобы уравнение имело ровно одно решение
достаточно, чтобы один корень удовлетворял первым двум неравенствам, а второй не удовлетворял хотя бы одному из них

x=–5a
{(–5а)⁴+(–5а)²–5a² ≥ 0 ⇒ 625a⁴+20a² ≥ 0 при любых а –
{(–5а)⁴–4а·(–5а) ≥ 0 ⇒ 625a⁴+20a² ≥ 0 при любых а –

x=–5a – корень уравнения


x=a
{(а)⁴+(а)²–5a² ≥ 0 ⇒ a⁴–4a² ≥ 0
{(а)⁴–4а·(а) ≥ 0 ⇒ a⁴–4a² ≥ 0

a²·(a–2)(a+2) ≥ 0 ⇒ (a–2)(a+2) ≥ 0 ⇒ a ∈ (– ∞;–2]U[2;+ ∞ )U{0} ⇒

a ∈ (–2;2)– наоборот, x=a не является корнем уравнения

Осталось уточнить, что получаем при x=0

√x4+x2=√x4 ⇒ x=0 – корень уравнения, единственный


a=0 включаем в ответ

Геометрическая иллюстрация ( просто так для наглядности):

Построим множество точек плоскости xOа, удовлетворяющих неравенствам:
{x⁴+x²–5a² ≥ 0
{x⁴–4ax ≥ 0

Системе удовл множество точек сиреневого цвета.
cм. рис.

Прямая x=–5a принадлежит полностью сиреневой области.

Прямая x=a принадлежит НЕ полностью сиреневой области.

По рисунку видно, что x=a не принадлежит ОДЗ

при a ∈ (–2;2)