Задача 10918 Решите неравенство:...

slava191

27.10.2016

Решите неравенство: log2(x-3)^2+log(0,5)(x^2-9) < 1

SOVA

27.10.2016

★

ОДЗ:
{x-3)^2 > 0 ⇒ x≠3
(x^2-9 > 0 ⇒ x < -3 или х > 3
ОДЗ: x∈(-∞;-3)U(3;+∞)

По формуле перехода к другому основанию:
log_(0,5)(x^2-9)=log_(2)(x^2-9)/log_(2)(0,5)=
=log_(2)(x^2-9)/log_(2)(1/2)=-log_(2)(x^2-9)
Неравенство принимает вид:
log_(2)(x-3)^2-log_(2)(x^2-9) < 1
или
log_(2)((x-3)^2/(x^2-9)) < log_(2)2
Так как основание логарифмической функции 2 > 1, логарифмическая функция возрастает. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента

(x-3)^2/(x^2-9) < 2;
(x-3)^2 < 2(x^2-9) Умножили на (x^2-9) > 0 ( см. ОДЗ)
х^2-6x+9 < 2x^2-18;
x^2 +6x-27 > 0
D=36+108=144
x=(-6-12)/2=-9 или х=(-6+12)/2=3
х∈(-бесконечность;-9)U(3;+бесконечность)
С учетом ОДЗ:
х∈(-бесконечность;-9)U(3;+бесконечность)
О т в е т. х∈(-бесконечность;-9)U(3;+бесконечность)