Задача 33246 срочно!!! решить дифференциальное...

vk485162044

2019-02-04 11:50:14

срочно!!!

решить дифференциальное уравнение

(x^2)*y''+xy'=1

sova

2019-02-04 12:23:20

★

Замена
y`=z
y``=z`

Тогда уравнение принимает вид:
x^2*z`+xz=1
Делим на x^2
z`+(1/x)*z=1/x^2

Линейное уравнение первого порядка.
Решают методом Бернулли.
Находят решение в виде произведения двух функций
z=u*v
z`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+(1/x)*u*v=1/x^2

u`*v + u*(v`+(1/x)*v)=1/x^2

Выбираем функцию v так, чтобы
выражение в скобках было равно 0
1)
v`+(1/x)*v=0
тогда
от уравнения останется
2)u*v+u*0=1/x^2
Получили два уравнения с разделяющимися переменными
1)
dv/dx=-v/x
dv/v=-dx/x
ln|v|=-ln|x|
v=1/x

2)
u`*(1/x)=1/x^2
u`=1/x
du/dx=1/x
du=dx/x
u=ln|x|+lnC_(1)
u=ln|C_(1)x|
u=e^(C_(1)x)

z=e^(C_(1)x)/x

y`=z
y= ∫ zdx= ∫ e^(C_(1)x)dx/x интегрировать по частям