№21226. Основанием пирамиды SABCD является параллелограмм ABCD. Точки K, L, M расположены на рёбрах SA, SB, SC соответственно, и при этом

SK/SA = 1/2; SL/SB = 2/5; SM/SC = 2/3

а) Докажите, что прямые KM и LD пересекаются.

б) Найдите отношение объёма пирамиды SKLMD к объёму пирамиды SABCD.

просмотры: 11862 | математика 10-11

№21171. На боковых ребрах ЕА, ЕВ, ЕС правильной четырехугольной пирамиды ABCDE расположены точки M, N, K соответственно,причем ЕМ : ЕА = 1:2, EN : ЕВ = 2 :3, ЕК : ЕС = 1:3 .

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки М, N, К

б) В каком отношении плоскость (MNK) делит объем пирамиды?

просмотры: 6576 | математика 10-11

№20491. Сфера касается рёбер BS, CS, CA, AB пирамиды SABC в точках K, L, M, N соответственно.

а) Докажите, что точки K, L, M, N лежат в одной плоскости.
б) Найдите KM, если KL = 8, LM = 8, MN = 6, NK = 4.

просмотры: 4015 | математика 10-11

№20322. Сфера радиусом R = 5 касается боковых граней правильной треугольной пирамиды SABC в точках K, L, M, принадлежащих сторонам основания пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если центр сферы удалён от плоскости её основания на расстояние, равное d = 3.

просмотры: 3425 | математика 10-11

№20127. Точки K, L, M расположены на ребрах SA, SB, SC правильной четырехугольной пирамиды SABCD соответственно, и при этом

SK/KA = 1/2; SL/SB = 1/5; SM/SC = 1/3

а) Докажите, что плоскость (KLM) проходит через вершину D пирамиды SABCD.

б) Найдите угол между плоскостью (KLM) и плоскостью основания пирамиды (ABCD), если SA = b = 2, AB = a = 1.

просмотры: 4885 | математика 10-11

№19339. 14) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на ребре C1D1 взята точка К так, что KC1=3KD1.

А) Докажите, что плоскость АСК делит диагональ BD1 в отношении 4:1, считая от точки В.

Б) Найдите расстояние от точки D до плоскости АСК, если известно, что АВ=4, ВС=3, СС1=2.

просмотры: 5372 | математика 10-11

№18834. Ларин 14) Внутри куба расположены два равных шара, касающихся друга. При этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трех оставшихся граней.

а) Докажите, что центры шаров принадлежат диагонали куба, исходящей из общей для граней вершины.

б) Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 13.

просмотры: 3454 | математика 10-11

№18236. В основании треугольной пирамиды ABCD лежит правильный треугольник АВС. Боковая грань пирамиды BCD перпендикулярна основанию, BD=DC.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро ВС перпендикулярно ребру AD.

б) Найдите объём пирамиды BCMD, где М - точка пересечения ребра АD и плоскости сечения, если сторона основания пирамиды ABCD равна 8sqrt(3), а боковое ребро AD наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов.

просмотры: 5428 | математика 10-11

№18123. 14) В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной АВ = 7 и диагональю BD = 10. Все боковые рёбра пирамиды равны 7. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка Е, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE = 3.

а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.

б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости АВС.

просмотры: 10297 | математика 10-11

№18103. SABCD — правильная четырёхугольная пирамида с основанием ABCD. Из точки В опущен перпендикуляр ВН на плоскость SAD.

а) Докажите, что угол AHC = 90°.

б) Найдите объём пирамиды, если НА = 3 и НС = 5.

просмотры: 33472 | математика 10-11

№17973. Точки М, N и К принадлежат соответственно ребрам АD, AB и BC тетраэдра ABCD, причем АМ : МD = 2 :3, ВN : АN = 1 : 2, ВК = КС.

а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, K.

б) Найдите отношение, в котором секущая плоскость делит ребро CD.

просмотры: 12064 | математика 10-11

№17561. В основании прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 лежит равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Точка К — середина ребра А1В1, а точка М делит ребро АС в отношении AM : МС = 1:3.

а) Докажите, что КМ перпендикулярно АС.

б) Найдите угол между прямой КМ и плоскостью АВВ1, если АВ = 14, АС = 16 и АА1 = 6.

просмотры: 73281 | математика 10-11

№17507. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 5, а боковое ребро AA1 равно sqrt(5). На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки К и L соответственно, причём CK = 2, a C1L = 1. Плоскость гамма параллельна прямой BD и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости гамма.

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка A1, а основание - сечение данной призмы плоскостью гамма.

просмотры: 38948 | математика 10-11

№16862. Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, AB=AA1

а) Докажите, что прямые А1С и BD перпендикулярны

б) Найдите объем призмы, если А1С=BD=2.

просмотры: 19443 | математика 10-11

№16861. В треугольной пирамиде PABC с основанием АВС известно, что АВ=17, РВ=10, cosPBA = 32/85. Основанием высоты этой пирамиды является точка С. Прямые РА и ВС перпендикулярны.

а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный

б) Найдите объем пирамиды РАВС.

просмотры: 16189 | математика 10-11

№16798. Дана правильная треугольная пирамида SABC. Её боковое ребро BS равно 9, высота SH пирамиды равна 3sqrt(5). Точка М — середина ребра ВС, а точка Т — середина отрезка SM.

а) Докажите, что АТ — высота пирамиды, проведённая к грани SBC.

б) Найдите расстояние между прямыми АТ и SB.

просмотры: 13184 | математика 10-11

№16784. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD со стороной основания, равной 3, высота пирамиды равна 3sqrt(2)/2. На рёбрах АВ, CD и AS отмечены точки М, N и К соответственно, причём AM = DN = АK = 1.

а) Докажите, что плоскость MNK параллельна плоскости SBC.

б) Найдите расстояние от точки К до плоскости SBC.

просмотры: 12521 | математика 10-11

№16759. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, у которой ребро основания равно 2, а высота равна 5. Через точки А, C1 и середину Т ребра А1В1 проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью АВС.

просмотры: 11569 | математика 10-11

№16751. В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 9 и радиусом основания 2 проведена хорда АВ, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный АВ. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую АВ, перпендикулярно прямой CD, так, что точка С и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.

а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.

б) Найдите объём пирамиды CABNM.

просмотры: 10443 | математика 10-11

№16486. В основании пирамиды PABCD - трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90 градусов, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, прямые АВ и CD пересекаются в точке К.

а) Доказать, что плоскость РАВ перпендикулярна плоскости PCD.

б) Найдите объем PKBC, если AB-BC=CD=3, а высота пирамиды PABCD равна 8.

просмотры: 13327 | математика 10-11

№16485. Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, причем АВ=3sqrt(2), ВС=6. Высота пирамиды падает в центр прямоугольника. Из вершин А и С опущены перпендикуляры АР и CQ на ребро SB

а) Докажите, что точки P - середина BQ
б) Найдите угол между гранями SBA и SBC, если SD=9

просмотры: 24254 | математика 10-11

№16484. На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки M и N соответственно, причем АМ:МВ =CN:NB=3:1. Точки P и Q - середины рёбер DA и DC соответственно

а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости

б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды

просмотры: 17814 | математика 10-11

№16269. Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 4, BC = 4sqrt(2). Высота пирамиды проектируется в центр пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершин A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.

а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.
б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 8

просмотры: 17748 | математика 10-11

№16245. Дана пирамида PABCD , в основании - трапеция ABCD , причём угол BAD + угол ADC=90 градусов. Плоскости (PAB) и (PCD) перпендикулярны основанию, прямые AB и CD пересекаются в точке K.

а) Доказать, что (PAB) перпендикулярно (PCD)
б) Найти V_(PKBC) , если AB=BC=CD = 3, а высота пирамиды равна 8

просмотры: 15479 | математика 10-11

№14705. Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью а, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой АС, является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями а и ВСС1, если АА1 = 6, АВ = 4.

просмотры: 43550 | математика 10-11

№13453. В правильной треугольной пирамиде SABC ребро основания AB равно 2, а боковое ребро АS равно sqrt(5). Через точки S, A и середину стороны BC – точку К проведено сечение. Найти

а) Площадь сечения.
б) Косинус угла между сечением и плоскостью ABC.

просмотры: 6665 | математика 10-11

№13266. a) Найти наибольшую площадь сечения конуса, проходящего через вершину, у которого радиус основания равен 6, а образующая – 8.
б) Образующая конуса равна 8, а радиус основания R. Найти наибольшую площадь сечения конуса, проходящего через вершину в зависимости от R

просмотры: 14566 | математика 10-11

№12895. В основании пирамиды PABC лежит прямоугольный треугольник с катетами АС=6 и ВС=8. Прямая РС перпендикулярна плоскости АВС. На ребре АВ отмечена точка К так, что АК:ВК=9:16.

А) Докажите, что прямые РК и АВ перпендикулярны.
Б) Найдите отношение радиусов сфер, вписанных в пирамиды РАСК и РВСК, если известно, что РС=2.

просмотры: 7703 | математика 10-11

№12686. В правильной треугольной пирамиде DABC с основанием ABC сторона основания равна 63, а высота пирамиды равна 8. На рёбрах AB, AC и AD соответственно отмечены точки M, N и K, такие, что AM=AN=(3sqrt(3))/2 и AK=5sqrt(2).

а) Докажите, что плоскости MNK и DBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости DBC.

просмотры: 9156 | математика 10-11

№12394. Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно 7sqrt(10).

а) Постройте прямую пересечения этой плоскости с плоскостью, проходящей через диаметры оснований, перпендикулярные этим хордам.
б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

просмотры: 5741 | математика 10-11

№12299. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD сторона основания равна 20, а высота пирамиды равна 11,25. Через ребро АВ под углом бета к плоскости АВС проведена плоскость α. Известно, что tg бета = 3/4.

А) Докажите, что плоскость α делит ребро РС в отношении 1:4, считая от точки Р.

Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α.

просмотры: 8098 | математика 10-11

№12185. В правильной треугольной призме АВСA1B1C1 все ребра равны между собой.

Точка К – середина ребра СС1. Докажите, что прямые АВ1 и ВК перпендикулярны.

просмотры: 4434 | математика 10-11

№12148. Дана правильная четырёхугольная пирамида МABCD, все рёбра которой равны 6. Точка N-середина ребра МА, точка К делит боковое ребро МВ в отношении 5:1, считая от вершины М.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки N и К параллельно прямой AD, является равнобедренной трапецией.

б) Найдите площадь этого сечения.

просмотры: 18208 | математика 10-11

№12115. В правильной треугольной призме АВСA1B1C1 все ребра равны между собой.

Точка К – середина ребра СС1.

А) Докажите, что прямые АВ1 и ВК перпендикулярны.
Б) Найдите расстояние между прямыми АВ1 и ВК, если ребро призмы равно 6

просмотры: 10082 | математика 10-11

№12098. PH - высота правильной четырехугольной пирамиды РАВСD, О - точка пересечения медиан треугольника ВСР.

А) Докажите, что прямые РН и АО не имеют общих точек.

Б) Найдите угол между прямыми РН и АО, если известно, что АВ=РН.

просмотры: 8457 | математика 10-11

№12088. В основании прямой призмы АВСDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция АВСD с основаниями ВС и АD. Точка К – середина ребра ВВ1. Плоскость α проходит через середины ребер АВ и ВВ1 параллельно прямой В1D.

А) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является равнобедренная трапеция.

Б) Найдите объем большей части призмы, на которые ее разбивает плоскость α, если известно, что ВС=7, АD=25, АВ=15, ВВ1=8.

просмотры: 2666 | математика 10-11

№11836. В основании прямой призмы АВСDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция АВСD с основаниями ВС и АD. Точка К – середина ребра ВВ1. Плоскость α проходит через середины ребер АВ и ВВ1 параллельно прямой В1D.

А) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является равнобедренная трапеция.

Б) Найдите объем большей части призмы, на которые ее разбивает плоскость α, если известно, что ВС=7, АD=25, АВ=15, ВВ1=8.

просмотры: 11572 | математика 10-11

№11718. Цилиндр и конус имеют общее основание, вершина конуса является центром другого основания цилиндра. Каждая образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30° .

А) Докажите, что площади боковых поверхностей цилиндра и конуса равны.

Б) Найдите радиус сферы, касающейся боковых поверхностей цилиндра и конуса, а так же одного из оснований цилиндра, если известно, что объем конуса равен (6sqrt(3)+10)*Pi.

просмотры: 6966 | математика 10-11

№11674. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды 18, боковое ребро 41. Найти площадь боковой поверхности пирамиды

просмотры: 34632 | математика 10-11

№11637. В правильной треугольной пирамиде SABC высота равна 12, а апофема равна 20. Точки Р и Т - середины рёбер SB и SC соответственно. Плоскость α содержит прямую РТ и параллельна высоте пирамиды SH.

а) Докажите, что плоскость α делит высоту основания ВВ1 в отношении 1:2, считая от вершины В
б) Найдите расстояние от точки В до плоскости α

просмотры: 5926 | математика 10-11

№11516. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 на ребре СС1 отмечена точка М так, что СМ:С1М=1:3. Плоскость АЕМ пересекает ребро ВВ1 в точке К.

А) Докажите, что ВК:В1К=1:5.
Б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью АЕМ, если АВ=3, СС1=8.

просмотры: 9492 | математика 10-11

№11300. В правильной пирамиде PABC точки Е, F, K, M, N - середины ребер АС, ВС, РА, РВ и РС соответственно.

А) Докажите, что объем пирамиды NEFMK составляет четверть объема пирамиды PABC.

Б) Найдите радиус сферы, проходящей через точки N, Е, F, M, K, если известно, что АВ=8, АР=6.

просмотры: 5296 | математика 10-11

№11236. В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 5. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=4. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.

а) Докажите, что A1P:PB1=3:1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.

просмотры: 61290 | математика 10-11

№11232. Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно sqrt(730).

а) Докажите, что эта плоскость пересекает ось цилиндра.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

просмотры: 27651 | математика 10-11

№11035. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 все рёбра равны 1.

а) Докажите, что прямая АВ1 параллельна прямой, проходящей через середины отрезков АС и ВС1.
б)Найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВС1.

просмотры: 33892 | математика 10-11

№11034. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 2, точка М – середина ребра АВ, точка О – центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины пирамиды.

а) Докажите, что прямая MF перпендикулярна прямой SC.
б) Найдите угол между плоскостью MBF и плоскостью АВС.

просмотры: 21186 | математика 10-11

№11026. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1.

А) Докажите, что прямая В1С1 перпендикулярна линии пересечения плоскостей АВС1 и АСВ1.

Б) Найдите угол между плоскостями АВС1 и АСВ1, если известно, что АВ=2, АА1=2.

просмотры: 11839 | математика 10-11

№10999. В правильной шестиугольной призме AB...E1F1 со стороной основания 4 и боковым ребром 2

а) Опустите перпендикуляр из точки С на прямую E1F1.
б) Найдите его длину.

просмотры: 8382 | математика 10-11

№10979. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF со стороной основания 2 и боковым ребром 3 точка М делит ребро SD в отношении 1 : 2 (считая от вершины S).

а) Постройте угол между прямой ВМ и плоскостью АЕС.
б) Найдите величину этого угла.

просмотры: 12803 | математика 10-11

№10957. В шаре проведено два сечения параллельными плоскостями, при-чем одно из них проходит через центр шара. Расстояние между плоскостями равно 3, а площадь меньшего сечения равна 16Pi. Найдите площадь поверхности шара.

просмотры: 8192 | математика 10-11

№10936. Высота прямой призмы АВСА1В1С1 равна 4. Основание призмы — треугольник АВС, в котором АВ = ВС, АС = 6, tgА = 0,5. Найдите тангенс угла между прямой А1В и плоскостью АСС1.

просмотры: 11727 | математика 10-11

№10917. Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2sqrt(13), а диагональ боковой грани равна 13.

а) Постройте линейный угол двугранного угла между плоскостью С1АВ и плоскостью основания призмы.
б) Найдите величину этого угла.

просмотры: 10298 | математика 10-11

№10852. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, стороны основания которой равны 2, а боковые ребра 3, найдите расстояние между прямыми АА1 и ВС1.

просмотры: 15429 | математика 10-11

№10832. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1

а) Постройте угол между прямой АС1 и плоскостью ВСС1.
б) Найдите косинус этого угла.

просмотры: 27432 | математика 10-11

№10759. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. На ребре АА1 отмечена точка М так, что А1М:АМ = 1:3. Через точки М и В1 параллельно AD1 проведена плоскость Ω.

а) Докажите, что плоскость Ω проходит через вершину F1.

б) Найдите расстояние от точки А до плоскости Ω, если АВ=2, АА1=4.

просмотры: 7646 | математика 10-11

№10736. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания АВ=7sqrt(3), а боковое ребро АА1=8.

а) Докажите, что плоскость ВСА1 перпендикулярна плоскости, проходящей через ребро АА1 и середину ребра В1С1.
б) Найдите тангенс угла между плоскостями ВСА1 и ВВ1С1.

просмотры: 45744 | математика 10-11

№10689. На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника АВС вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка М — середина гипотенузы АВ, Н — точка пересечения прямых СМ и DK.

а) Докажите, что CM перпендикулярно DK .

б) Найдите МН, если известно, что катеты треугольника АВС равны 130 и 312.

просмотры: 31068 | математика 10-11

№10648. Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания АВС.

а) Докажите, что высота пирамиды проведённая из точки А, делится плоскостью, проходящей через середины рёбер АВ, АС и SA, пополам.

б) Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости, если SA = sqrt(5) , АВ = АС = 5, ВС = 2sqrt(5).

просмотры: 22760 | математика 10-11

№10617. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. O - точка пересечения A1D и AD1

а) Докажите, что плоскости OB1C1 и CEE1 перпендикулярны

б) Найдите расстояние между прямыми B1C1 и СE1, если известно, что АВ=1, АА1=3.

просмотры: 11842 | математика 10-11

№10506. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 стороны основания равны 5, а боковые рёбра равны 11.

а) Докажите, что прямые СA1 и C1D1 перпендикулярны.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины С, A1 и F1.

просмотры: 20457 | математика 10-11

№10467. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка М лежит на ребре DD1 так, что DM:D1M=1:2. Плоскость, проходящая через точки А и М параллельно BD1, пересекает ребро CD в точке Р.

а) Докажите, что CP=DP.

б) Найдите расстояние от точки D1 до плоскости АМР, если известно, что АВ=12, ВС=9, АА1=36.

просмотры: 13451 | математика 10-11

№10296. В правильной треугольной пирамиде РАВС боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 6. На продолжении ребра РА отмечена точка М так, что МА:МР=9:16.

а) Докажите, что плоскости РВС и МВС перпендикулярны.
б) Найдите объем пирамиды МАВС.

просмотры: 8209 | математика 10-11

№10103. В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD с диагоналями АС = 8 и BD = 6. Боковое ребро ВВ1 равно 12. На ребре ВВ1 отмечена точка М так, что ВМ:В1М=1:7.

а) Докажите, что прямая MD перпендикулярна плоскости АСD1.
б) Найдите объем пирамиды МАСD1.

просмотры: 10952 | математика 10-11

№9904. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ=АА1=6, ВС=4. Точка Р - середина ребра АВ, точка М лежит на ребре DD1 так, что DM:D1D=2:3.

а) Докажите, что прямая BD1 параллельна плоскости МРС.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью МРС.

просмотры: 13536 | математика 10-11

№9851. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребре SC отмечена точка М так, что SM:MC=7:18.

а) Докажите, что плоскости SBC и АВМ перпендикулярны.

б) Найдите объем меньшей части пирамиды SABC, на которые ее разбивает плоскость АВМ.

просмотры: 11486 | математика 10-11

№9768. Радиус основания конуса равен 6, а высота конуса равна 8. В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду окружности основания, длина которой равна 4.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середину этой хорды и высоту конуса, перпендикулярна этой хорде.

б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения.

просмотры: 3513 | математика 10-11

№9648. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА1 равно 3. На ребре В1С1 отмечена точка L так, что B1L=1. Точки К и М - середины ребер АВ и А1С1 соответственно. Плоскость у параллельна прямой АС и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости у

б) Найдите объем пирамиды, вершина которой - точка М, а основание - сечение данной призмы плоскостью у.

просмотры: 41886 | математика 10-11

№9203. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точка Р - середина ребра А1В1, точка М - середина ребра А1С1.

А) Докажите, что сечение призмы плоскостью ВРМ проходит через точку С.

Б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость ВРМ разбивает данную призму, если известно, что АВ=6, АА1=4.

просмотры: 10022 | математика 10-11

№9143. В правильной треугольной пирамиде SАВС точки К, N принадлежат ребру SA, точка М – ребру SВ, а L принадлежит ребру SC, причём АК= КN=NS, SM : МВ = 1:3, SL:LC= 2:1.

а) Докажите, что перпендикуляр МН, опущенный на апофему боковой грани ASC делит ее в отношении 1:5, считая от вершины S.

б) Найдите отношение объёма пирамиды KLMN к объёму пирамиды SАВС.

просмотры: 3145 | математика 10-11

№9005. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144.
а) Постройте прямую пересечения плоскости SAC и плоскости проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центра основания.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.

просмотры: 3861 | математика 10-11

№8740. Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между этими хордами равно 2sqrt(197).

а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от этой плоскости.

б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

просмотры: 7699 | математика 10-11

№8736. Дана правильная призма АВСА1В1С1, у которой сторона основания АВ=4, а боковая сторона АА1=9. Точка М-середина ребра АС, а на ребре АА1 взята точка Т так, чт АТ=3.

А)Докажите, что плоскость ВВ1М делит отрезок С1Т пополам.
Б)Плоскость ВТС1 делит отрезок МВ1 на две части. Найдите длину большей из них.

просмотры: 13102 | математика 10-11

№8733. А)Докажите, что в правильной треугольной призме АВСА1В1С1 прямая, проходящая через середины отрезков АА1 и ВС1, перпендикулярна этим отрезкам.
Б)1)Т-середина АА1, К-середина ВС1
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АА1 и ВС1.

просмотры: 5261 | математика 10-11

№8728. В правильной треугольной пирамиде стороны основания равны 15, а боковые ребра равны 14. Около пирамиды описана сфера.

А)Докажите, что центр сферы лежит на высоте пирамиды.
Б)Найдите расстояние от центра сферы до плоскости основания.

просмотры: 5106 | математика 10-11

№8723. В правильной треугольной пирамиде стороны основания равны 12, а боковые ребра равны 13. Около пирамиды описана сфера.

А)Докажите, что центр сферы лежит на высоте пирамиды.
Б)Найдите расстояние от центра сферы до плоскости основания.

просмотры: 7409 | математика 10-11

№8709. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 5, боковые ребра равны 15, точка D-середина ребра CC1.

а) Пусть прямые BD и В1С1 пересекаются в точке Е. Докажите, что угол ЕА1B1– прямой.
б) Найдите угол между плоскостями А1В1С1 и BDA1.

просмотры: 11076 | математика 10-11

№8665. Дан куб ABCDA1B1C1D1.

А) Докажите, что каждая из плоскостей BDA1 и B1D1C перпендикулярна прямой AC1.

Б) Найдите объем части куба, заключенной между плоскостями BDA1 и В1D1С, если известно, что отрезок диагонали AC1, заключенный между этими плоскостями, имеет длину sqrt(3)

просмотры: 9123 | математика 10-11

№8642. В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC, в котором АВ=ВС, АС=16. На ребре BB1 выбрана точка F так что BF:B1F=3:5. Угол между плоскостями АА1С и AFC равен 45

а) Докажите, что расстояние между АВ и А1С1 равно боковому ребру призмы.

б) Найдите расстояние между АВ и А1С1, если FC=10

просмотры: 13959 | математика 10-11

№8628. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 4, боковые ребра равны 7, точка D-середина ребра ВВ1.

а) Пусть прямые С1D и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что угол ЕАС – прямой.
б) Найдите угол между плоскостями АВС и АDС1.

просмотры: 8139 | математика 10-11

№8573. В правильной треугольной пирамиде SABC точка Р - середина АВ, точка К - середина ВС. Через точки Р и К параллельно SB проведена плоскость Q.

А) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью Q является прямоугольником.

Б) Найдите расстояние от точки S до плоскости Q, если известно, что SC=5, AC=6.

просмотры: 5496 | математика 10-11

№8471. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 4. Через точки A, C1 и середину T ребра A1B1 проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите объём пирамиды A1ATC1.

просмотры: 8896 | математика 10-11

№8448. В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC (AB=AC). Точка К - середина ребра B1C1.

А) Докажите, что прямая AB1 параллельна плоскости CKA1.

Б) Найдите расстояние от прямой AB1 до плоскости CKA1, если известно, что СВ=6, CA=5, CC1=12

просмотры: 8364 | математика 10-11

№8356. Дана правильная пирамида SABC, у которой сторона основания AB=6, боковое ребро SA=9. Сечение пирамиды, параллельное ребрам АС и SB, является квадратом.

а)Докажите, что сечение делит ребра AS, CS, CB и AB в равном отношении.
б)Найдите угол между диагональю этого квадрата и плоскостью основания пирамиды.

просмотры: 21436 | математика 10-11

№8348. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра AB равна 12sqrt(3), SC равно 13.

а) Докажите, что прямая, проходящая через середины ребер AS и ВС, пересекает высоту пирамиды.

б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC.

просмотры: 18940 | математика 10-11

№8347. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N - середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием - сечение пирамиды SABC плоскостью α.

просмотры: 21101 | математика 10-11

№8315. На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E:EA=3:4. Точка T - середина ребра B1C1. Известно, что AB=9, AD=6, AA1=14.

А) В каком отношении плоскость ETD1 делит ребро BB1?
В) Найдите угол между плоскостью ETD1 и плоскостью AA1B1.

просмотры: 49058 | математика 10-11

№8308. В кубе ABCDA1B1C1D1 на продолжении ребра BB1 отмечена точка P так, что PB:BB1=3:4. Через точки А и Р параллельно прямой BD1 проведена плоскость альфа.

А) Докажите, что плоскость альфа делит ребро DC в отношении 1:2.

Б) Найдите площадь сечения куба плоскостью альфа, если известно, что РВ=18.

просмотры: 6889 | математика 10-11

№8274. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB равна 6, а боковое ребро AA1 равно 4sqrt(3). На ребрах AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки M, N и K соответственно, причем AM = A1N = C1K = 1

а) Пусть L - точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL - квадрат

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK .

просмотры: 58833 | математика 10-11

№8207. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=4 b BC=3. Длины боковых ребер пирамиды SA=sqrt(11), SB=3sqrt(3), SD=2sqrt(5).

а) Докажите, что SA-высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.

просмотры: 21337 | математика 10-11

№8187. В правильной треугольной пирамиде DABC со стороной основания АВ, равной 30, боковое ребро равно 20. Точки N и М делят рёбра DA и DB в отношении 2:1, считая от вершины D. Плоскость α, содержащая прямую MN, перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость а делит высоту СЕ основания в отношении 8:1, считая от точки С.

б) Найдите площадь сечения пирамиды DABC плоскостью α.

просмотры: 10103 | математика 10-11

№8186. Радиус основания конуса равен 4, а высота конуса равна 3sqrt(2). В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду окружности основания, длина которой равна 4sqrt(2).

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середину этой хорды и высоту конуса, перпендикулярна этой хорде.

б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения.

просмотры: 8179 | математика 10-11

№8184. Дан куб ABCDA1B1C1D1

1) Докажите, что прямая B1D перпендикулярна плоскости A1BC1
2) Найдите угол между плоскостями AB1C1 и A1B1C

просмотры: 32085 | математика 10-11

№8181. Точка E - середина ребра AA1 куба ABCDA1B1C1D1.

а) Докажите, что сечение куба плоскостью DEB1 является ромбом.
б) Найдите угол между прямыми DE и BD1.

просмотры: 15336 | математика 10-11

№8175. Основанием пирамиды SABCD является трапеция ABCD, у которой AD|| BC. На ребре SC выбрана точка К так, что CK:KS=2:5. Плоскость, проходящая через точки А,В и К, пересекает ребро SD в точке L. Известно, что объемы пирамид SABKL и SABCD относятся, как 95:189.

А) Постройте сечение пирамиды плоскостью АВК.
Б) Найдите отношение длин оснований трапеции ABCD

просмотры: 8325 | математика 10-11

№8161. В пирамиде SABC известны длины ребер AB=AC=SB=SC=10; BC=SA=12. Точка K - середина ребра BC

1) Докажите, что плоскость SAK перпендикулярна плоскости ABC

2) Найдите расстояние между прямыми SA и BC

просмотры: 45854 | математика 10-11

№7994. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды FABCD с основанием ABCD равны 7. Точки P,Q,R лежат на ребрах FA, AB и ВС соответственно, причем FP=BR=4, AQ=3.

А) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру FD
Б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR

просмотры: 5739 | математика 10-11

№7948. Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер AB, АС и SA, отсекает от пирамиды SABC пирамиду, объём которой в 8 раз меньше объёма пирамиды SABC.

б) Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости, если SA = 2sqrt(5), AB = АС = 10, BC = 4sqrt(5) .

просмотры: 40408 | математика 10-11

№7657. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 1, а бо­ко­вые ребра равны 2, най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми SB и AD.

просмотры: 28370 | математика 10-11

№7493. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB=35, AD=12, CC1=21.

а) Докажите, что высоты треугольников ABD и A1BD, проведённые к стороне BD, имеют общее основание.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.

просмотры: 13798 | математика 10-11

№7399. Дана правильная треугольная призма АВСА1B1C1, все рёбра которой равны 4. Через точки A, C1 и середину T ребра A1В1 проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC

просмотры: 38207 | математика 10-11

№7203. В кубе ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 5.

а) Постройте линейный угол двугранного угла между плоскостиями ABD и CAD1.

б) Найдите тангенс этого угла.

просмотры: 4603 | математика 10-11

№7175. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 4, а сторона основания равна 6. Около основания пирамиды описана окружность.
а) Докажите, что отношение длины этой окружности к стороне основания равно Pisqrt(2)
б) Найдите площадь боковой поверхности конуса, основанием которого служит эта окружность, а вершина совпадает с вершиной пирамиды.

просмотры: 9013 | математика 10-11

№6722. На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E:EA=1/2, на ребре BB1 — точка F так, что B1F:FB=1/5, а точка Т — середина ребра B1C1. Известно, что AB=3, AD=6, AA1=18.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA1B1

просмотры: 60745 | математика 10-11

№6686. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник со сторонами AB=12, BC=5. Боковые рёбра SA=3sqrt(3), SB=sqrt(171), SD=2sqrt(13).

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между SC и BD.

просмотры: 19498 | математика 10-11

№6511. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1

а) Опустите перпендикуляр из точки D на плоскость CAD1.
б) Найдите его длину.

просмотры: 15542 | математика 10-11

№6421. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S равны 6. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1, M — середина ребра AS, точка L лежит на ребре BC так, что BL:LC = 1:2.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью S1LM — равнобокая трапеция.
б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

просмотры: 21579 | математика 10-11

№5745. Площадь основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 64, а площадь сечения пирамиды плоскостью SAC равна 32sqrt(3).

а) Докажите, что угол между плоскостью основания пирамиды и боковым ребром равен 60°.

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

просмотры: 24338 | математика 10-11

№5629. В кубе ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 5.

а) Постройте линейный угол двугранного угла между плоскости ми ABD и CAD1.

б) Найдите тангенс этого угла.

просмотры: 20048 | математика 10-11

№5609. Все ребра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 9. Основание О высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1. М - середина ребра SB, точка L лежит на ребре CD так, что CL:LD=7:2
а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S1LM - равнобокая трапеция.
б)Вычислите длину средней линии этой трапеции.

просмотры: 27212 | математика 10-11

№5594. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра равны 1.

а) Постройте прямую пересечения плоскости ABB1 и плоскости, проходящей через точки C,C1 перпендикулярно плоскости ACC1.

б) Найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1

просмотры: 7499 | математика 10-11

№5451. В правильной треугольной пирамиде SABC со стороной основания BC = 12 и боковым ребром SB = 8 на рёбрах SB и SC взяты точки E и F соответственно, являющиеся серединами рёбер. Плоскость а, содержащая прямую EF, перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость а делит биссектрису АА1 основания пирамиды в отношении 5 : 1, считая от точки А.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABC плоскостью a.

просмотры: 14291 | математика 10-11

№5334. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 8. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен 2sqrt(2/5).

а) Пусть О — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые ВО и LO перпендикулярны.

б) Найдите площадь поверхности пирамиды.

просмотры: 41319 | математика 10-11

№5067. Точка Е — середина ребра AA1 куба ABCDA1B1C1D1.

а) Докажите, что сечение куба плоскостью DEB1 является ромбом.

б) Найдите угол между прямыми DE и BD1.

просмотры: 8305 | математика 10-11

№4909. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое рёбро вдвое больше стороны основания.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину С, делит апофему грани ASB в отношении 1 : 2, считая от вершины S.

б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину С, делит ребро SF, считая от вершины S.

просмотры: 30248 | математика 10-11

№4898. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 3, точка М — середина ребра АС, точка О — центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 2:1, считая от вершины пирамиды.

а) Докажите, что плоскость MSF перпендикулярна ребру АС.

б) Найдите угол между плоскостью MCF и плоскостью АВС.

просмотры: 8988 | математика 10-11

№4768. Радиус основания конуса равен 6, а высота конуса равна 8. В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду окружности основания, длина которой равна 4.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середину этой хорды и высоту конуса, перпендикулярна этой хорде.

б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения.

просмотры: 16799 | математика 10-11

№4720. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания AB=8sqrt(3) , а боковое ребро AA1=5

a) Найдите длину A1K, где K - середина ребра BC.
б) Найдите тангенс угла между плоскостями BCA1 и BB1C1

просмотры: 31772 | математика 10-11

№4702. В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекаются в точке N, а точка М лежит на ребре A1D1, причем A1M:MD1 = 1:4. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани: DD1CC1

просмотры: 6860 | математика 10-11

№4178. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB=6, AD=4, AA1=10. Точка F принадлежит ребру BB1 и делит его в отношении 2:3, считая от вершины B. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, F и C1.

просмотры: 7173 | математика 10-11

№3963. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=sqrt(5) и BC=2.
Длины боковых ребер пирамиды SA=sqrt(7),SB=2sqrt(3),SD=sqrt(11).
а) Докажите, что SA – высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.

просмотры: 32288 | математика 10-11

№3867. В пирамиде SABC в основании лежит правильный треугольник ABC со стороной 2sqrt(3) , SA = SC = sqrt(33) , SB = 7 . Точка О — основание высоты пирамиды, проведённой из вершины S.

а) Докажите, что точка О лежит вне треугольника ABC.

б) Найдите объём четырёхугольной пирамиды SABCO.

просмотры: 26845 | математика 10-11

№3578. Найдите угол АС1С прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, для которого АВ = 8, AD = 15, АА1 = 17. Ответ в градусах.

просмотры: 25341 | математика 10-11

№3477. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N — середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.

просмотры: 19365 | математика класс не з

№3313. Через вершину правильной треугольной пирамиды и середины двух сторон основания проведено сечение. Найти площадь сечения и объём пирамиды, если известны стороны основания а и угол α между сечением и основанием пирамиды.

просмотры: 4398 | математика 10-11

№3312. В цилиндре отрезок AB является диаметром нижнего основания и равен 10. Точка С лежит на окружности верхнего основания цилиндра и одновременно принадлежит осевому сечению цилиндра, перпендикулярного AB. Найти косинус угла между плоскостью (ABC) и плоскостью основания цилиндра, если BC=13.

просмотры: 7293 | математика 10-11

№3311. Диаметр AN и хорда AB основания конуса соответственно равны 24 и 16, высота конуса sqrt(125). Найти тангенс угла между плоскостью основания конуса и плоскостью сечения конуса, проходящей через вершину конуса и хорду AB.

просмотры: 8710 | математика 10-11

№3310. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между BD и SA.

просмотры: 23841 | математика 10-11

№3309. Найти угол между плоскостями (α) 2х+3y+6z-5=0; (β) 4x+4y+2z-7=0

просмотры: 7649 | математика 10-11

№3308. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра AB=20sqrt(3), SC = 29. Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой AM, где М – точка пересечения медиан грани SBC.

просмотры: 14279 | математика 10-11

№3307. Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 прямоугольник ABCD, в котором AB = 12, AD=корень из 31. Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD1, если расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 5.

просмотры: 19173 | математика 10-11

№3238. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2, а высота призмы равна sqrt(17). Точка E лежит на диагонали BD1, причем BE=2.
a) Постройте сечение призмы плоскостью A1C1E
б) Найдите угол наклона этой плоскости к плоскости ABC

просмотры: 17430 | математика 10-11

№3198. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 12.Точка Р-середина ребра СВ.Точка К лежит на ребре СD так ,что KD:KC=1:2.Плоскость,проходящая через точки Р,К и А1 пересекают ребро DD1 в точке М.
а)Докажите ,что DM:D1M=1:4.
б)Найдите угол между плоскостями РКА1 и АВС

просмотры: 7419 | математика 10-11

№2315. Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 64.
а) Постройте прямую пересечения плоскости SAC и плоскости проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центра основания.
б) Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды, если площадь сечения пирамиды плоскостью SAC равна 64.

просмотры: 20317 | математика 10-11

№2287. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144.
а) Постройте прямую пересечения плоскости SAC и плоскости проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центра основания.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.

просмотры: 34768 | математика 10-11

№1620. В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ — точка L. Известно, что AD = AE = AL = 4. Найдите угол между плоскостью основания и сечением пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D, L.

просмотры: 19363 | математика 10-11

№1618. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 со стороной основания, равной 4, на ребре АА1 взята точка M так, что AM = 2, А1М = 5. На ребре ВВ1 взята точка К так, что ВК = 5, а В1К = 2. Найдите угол между плоскостями D1MK и CC1D1.

просмотры: 15074 | математика 10-11

№1617. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF проведена высота SO, М и N-середины отрезков ОС и SE соответственно. Найдите угол между прямой MN и плоскостью основания, если сторона основания 2, а боковое ребро 3.

просмотры: 3440 | математика 10-11

№1616. В правильной треугольной пирамиде SABC, сторона основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3, точки М и N - середины ребер SC и АВ соответственно. Найдите угол между прямой MN и плоскостью основания пирамиды.

просмотры: 3852 | математика 10-11

№1615. Угол А в основании прямой призмы АВСА1В1С1 прямой, АС = АВ =АА1 = 1. Найдите угол между прямой АВ1 и плоскостью ВВ1С.

просмотры: 3579 | математика 10-11

№1614. В правильной треугольной призме ABCDA1B1C1D1 все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой ВС1.

просмотры: 43333 | математика 10-11

№1595. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой AA1 и плоскостью BC1D.

просмотры: 26395 | математика 10-11

№1411. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAD

просмотры: 23728 | математика 10-11

№1353. К одном у концу лёгкой пружины жёсткостью k = 100 Н/м прикреплён массивный груз, лежащий на горизонтальной плоскости, другой конец пружины закреплён неподвижно (см. рисунок). Коэффициент трения груза по плоскости Мю=0.2 Груз смещают по горизонтали, растягивая пружину, затем отпускают с начальной скоростью, равной нулю. Груз движется в одном направлении и затем останавливается в положении, в котором пружина уже сжата. Максимальное растяжение пружины, при котором груз движется таким образом, равно d = 15 см. Найдите массу m груза.

просмотры: 14443 | физика 10-11

№1332. Основание пирамиды SABC – равносторонний треугольник со стороной 1. Вершина S проецируется в точку A, и SA = 1. Найдите угол между прямыми AB и SC.

просмотры: 5623 | математика 10-11

№1298. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 4, высота - 10. Точки К и М -середины ребер АС и А1В1 соответственно. Найдите косинус угла между прямыми АС1 и КМ.

просмотры: 7163 | математика 10-11

№1295. В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD с диагоналями AC=6 и BD=12. Высота призмы равна sqrt(15). Найдите угол между прямыми AB1 и D1C.

просмотры: 11511 | математика 10-11

№1271. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2, точка D — середина ребра CC1. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.

просмотры: 30941 | математика 10-11

№1269. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, сторона которого равна 4sqrt(3) а угол ВАD равен 60 градусов. Найдите расстояние от точки А до прямой C1D1,если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8.

просмотры: 21370 | математика 10-11

№1239. Точка E — середина ребра куба ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми AE и CA1.

просмотры: 11692 | математика 10-11

№1238. Радиус основания конуса равен 5, а его высота равна 12. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 6. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

просмотры: 13949 | математика 10-11

№1237. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, известны AB=1, AD=AA1=2. Найдите угол между прямой AB1 и плоскостью ABC1.

просмотры: 33522 | математика 10-11

№1149. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60°. Меньшая из площадей диагональных сечений равна 130 см^2. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

просмотры: 20200 | математика 10-11

№1140. Косинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды равен sqrt(3)/4. Найдите угол между боковыми гранями этой пирамиды.

просмотры: 20502 | математика 10-11

№1127. Радиус основания конуса с вершиной P равен 6, а длина его образующей равна 9, на окружности основания конуса выбраны точки А и Б, делящие окружность на 2 дуги, длины которых относятся как 1:3. Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP.

просмотры: 18429 | математика 10-11

№1100. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S. Ребро основания пирамиды равно sqrt(6), высота - sqrt(33). Найдите расстояние от середины ребра AD до прямой MT, где точки M и T - середины ребер CS и BC соответственно.

просмотры: 11026 | математика 10-11

№1034. Высота SO правильной треугольной пирамиды SABC составляет 5/7 от высоты SM боковой грани SAB. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и её боковым ребром

просмотры: 13101 | математика 10-11

№1027. Правильные треугольники ABC и MBC лежат в перпендикулярных плоскостях, BC=8. Точка P — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что BT:TM=1:3. Вычислите объём пирамиды MPTA.

просмотры: 12911 | математика 10-11

№1025. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 боковое ребро равно 8sqrt(3) а ребро основания равно 1. Точка D — середина ребра BB1. Найдите объём пятигранника ABCA1D.

просмотры: 14194 | математика 10-11

№996. В правильной треугольной пирамиде МАВС с вершиной М высота равна 3, а боковые ребра равны 6. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон АВ и АС параллельно прямой МА.

просмотры: 15612 | математика 10-11

№995. В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно sqrt(5), а высота равна 1, вписана сфера.(Сфера касается всех граней пирамиды). Найдите площадь этой сферы

просмотры: 16625 | математика 10-11

№994. Радиус основания конуса равен 8, а его высота равна 15. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 14. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

просмотры: 24617 | математика 10-11

№993. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 6, а боковое ребро АА1=1. Точка F принадлежит ребру C1D1 и делит его в отношении 2:1, считая от вершины С1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки А, С и F

просмотры: 23251 | математика 10-11

№992. В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.

просмотры: 13990 | математика 10-11

№991. Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84. Найдите радиус шара

просмотры: 11564 | математика 10-11

№990. Плоскость a пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 7. Плоскость B, параллельная плоскости a, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью a.

просмотры: 11256 | математика 10-11

№986. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 2, боковые ребра равны 3, точка D - середина ребра СС1. Найдите расстояние от вершины С до плоскости ADB1

просмотры: 21590 | математика 10-11

№985. Точка Е - середина ребра DD1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми СЕ и АС1.

просмотры: 23238 | математика 10-11

№984. На ребре СС1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка Е так, что СЕ:ЕС1=1:2. Найдите угол между прямыми ВЕ и АС1.

просмотры: 45179 | математика 10-11

№833. Точка Е — середина ребра СС1 куба ABCDA1B1C1D1 . Найдите угол между прямыми BE и AD.

просмотры: 39261 | математика 10-11

№828. В правильной шестиугольник призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, стороны основания которой равны 5, а боковые ребра равны 11, найдите расстояние от точки C до прямой A1F1.

просмотры: 2202 | математика 10-11

№818. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.

просмотры: 27460 | математика 10-11

№692. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра: AB=3, AD=2, AA1=5. Точка O принадлежит ребру BB1 и делит его в отношении 2:3, считая от вершины B. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C1.

просмотры: 7951 | математика 10-11

№659. В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку C и середину ребра MA параллельно прямой BD.

просмотры: 19828 | математика 10-11

№629. Длина высоты SO правильной треугольной пирамиды SABC равна 1, а длины сторон основания ABC равны 2sqrt(6). Точки M и N - середины отрезков AC и AB. Вычислите радиус сферы, вписанной в пирамиду SAMN.

просмотры: 4485 | математика 10-11

№628. В правильной шестиугольной призме A...F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой FE1

просмотры: 18087 | математика 10-11

№627. В правильной шестиугольной призме A...F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой A1F1.

просмотры: 24956 | математика 10-11

№626. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки S до прямой BF.

просмотры: 26188 | математика 10-11

№625. В единичном кубе A..D1 найдите расстояние от точки B до прямой DA1.

просмотры: 43814 | математика 10-11

№607. На продолжении ребра ST за точку Т правильной четырехугольной пирамиды SPQRT с вершиной S взята точка В так, что расстояние от этой точки до плоскости SPQ равно 9sqrt(7)/2. Найти длину отрезка ВТ, если QR = 12, SR = 10.

просмотры: 4484 | математика 10-11

№535. В прямом параллелепипеде АВСДА1В1С1Д1 основанием служит ромб со стороной, равной а, угол АВС=120. Через сторону ВС и вершину А1 проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол 45. Найдите длину бокового ребра и площадь сечения.

просмотры: 6470 | математика 10-11

№534. Ребро куба равно корень из 6. Найдите расстояние между диагональю куба и диагональю любой из его граней.

просмотры: 11500 | математика 10-11

№533. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB=sqrt(3), боковое ребро SA = sqrt(7). Найдите расстояние от вершины A до плоскости BCS.

просмотры: 5129 | математика 10-11

№422. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра: AB=3, AD=2, AA1=5. Точка O принадлежит ребру BB1 и делит его в отношении 2:3, считая от вершины B. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C1 .

просмотры: 39713 | математика 10-11

№398. Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и основанием цилиндра.

просмотры: 24824 | математика 10-11

№397. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и DB1F1.

просмотры: 31254 | математика 10-11

№396. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, стороны основания которой равны 5, а боковые ребра равны 11, найдите расстояние от точки C до прямой A1F1.

просмотры: 35256 | математика 10-11

№219. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, сторона основания которой равна 2, диагональ боковой грани sqrt(5). Найти угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.

просмотры: 15564 | математика 10-11

№218. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой А1D1 и плоскостью, проходящей через точки A1, D и M—середину ребра СС1.

просмотры: 2724 | математика 10-11

№217. Основанием треугольной пирамиды является равнобедренный треугольник со сторонами: 2, sqrt(10), sqrt(10). Высота пирамиды равна 4, а все боковые ребра наклонены к основанию пирамиды под углом A. Найдите tgA.

просмотры: 3139 | математика 10-11

№216. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S сторона основания равна 12, а боковое ребро наклонено к основанию под углом, квадрат тангенса которого равен 0,5. Найдите расстояние между ребрами АВ и SC.

просмотры: 4153 | математика 10-11

№215. Точка М— середина стороны ВС основания ABC правильной призмы ABCAlBlC1. Боковое ребро призмы равно 2sqrt(6), а сторона основания равна 4sqrt(3). Найдите угол между прямой В1М и плоскостью боковой грани ABB1А1

просмотры: 4068 | математика 10-11

№14. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.

просмотры: 16499 | математика 10-11

№13. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а двугранный угол при основании равен 45. Найдите объем пирамиды.

просмотры: 11937 | математика 10-11