Задача 16269 Дана четырёхугольная пирамида SABCD с...

slava191

04.06.2017

Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 4, BC = 4sqrt(2). Высота пирамиды проектируется в центр пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершин A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.

а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.
б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 8

SOVA

05.06.2017

★

В основании пирамиды прямоугольник АВСD
Диагонали прямоугольника равны.
АС=BD
ОА=ОB=ОС=OD.
Равные проекции имеют равные наклонные, поэтому
боковые ребра пирамиды равны между собой и
SA=SB=SC=SD=8.

Треугольники ASB и BSC - равнобедренные.
Высоты проведенные из вершины S являются одновременно и медианами.
По теореме Пифагора
h_(AB)=sqrt(8^2-2^2)=sqrt(60)=2sqrt(15)
h_(BC)=sqrt(8^2-(2sqrt(2))^2)=sqrt(64-8)=sqrt(56)=2sqrt(14)
Так как
S( Δ SAB)=(1/2)*AB*h_(AB) и S( Δ SAB)=(1/2)*SB*AP, то из равенства
AB*h_(AB)=SB*AP
AP=sqrt(15)
Аналогично
S( Δ SBС)=(1/2)*BС*h_(BС) и S( Δ SBС)=(1/2)*SB*СQ, то из равенства
BC*h_(BC)=SB*CQ
CQ=sqrt(28)=2sqrt(7)
Тогда по теореме Пифагора
SQ=sqrt(8^2-(2sqrt(7))^2)=sqrt(64-28)=sqrt(36)=6
BQ=SB-SQ=8-6=2
по теореме Пифагора
BP^2=sqrt(4^2-(sqrt(15))^2)=sqrt(16-15)=sqrt(1)=1
PQ=BQ-PB=2-1=1
BP=PQ

2)
Проводим PK || CQ в треугольнике BQC
PK⊥ SB
AP⊥SB
∠ APK - линейный угол двугранного угла между плоскостями SBA и SBC.

PK - средняя линия и потому
PК=(1/2)СQ=sqrt(7)

По теореме Пифагора из треугольника АBК:
АК^2=АВ^2+BК^2
AK=4^2+(2sqrt(2))^2=16+8=24
AK=sqrt(24)

Из треугольника АРК по теореме косинусов:
АК^2=AP^2+PK^2-2*AP*PK*cosφ
24=15+7-2sqrt(15)*sqrt(7)*cosφ
cosφ=(15+7-24)/(2sqrt(15)*sqrt(7))=
=-2/(2*sqrt(105)=-sqrt(105)/105.
φ=arccos(-sqrt(105)/105)=π-arccos(sqrt(105)/105).
О т в е т. π-arccos(sqrt(105)/105).