Задача 13266 a) Найти наибольшую площадь сечения...

slava191

28.01.2017

a) Найти наибольшую площадь сечения конуса, проходящего через вершину, у которого радиус основания равен 6, а образующая – 8.
б) Образующая конуса равна 8, а радиус основания R. Найти наибольшую площадь сечения конуса, проходящего через вершину в зависимости от R

SOVA

29.01.2017

★

Все сечения, проходящие через вершину конуса - равнобедренные треугольники (боковые стороны таких треугольников- образующие конуса).

Пусть угол между образующими сечения равен α.
Рассмотрим диагональное сечение.
Тогда по теореме косинусов
12^2=8^2+8^2-2*8*8*cosα
cosα=-1/8 ( угол α - тупой)
sinα=3sqrt(7)/8
S(cечения)=(1/2)*8*8*sinα=32*(3sqrt(7)/8)=12sqrt(7).

если угол между образующими α=90 градусов
S(сечения)=(1/2)*8*8*sin 90градусов=32

32*1 > 32*(3sqrt(7)/8)=12sqrt(7), так как (3sqrt(7)/8) < 1
О т в е т. 32

б)Пусть угол между образующими сечения равен α.
Тогда по теореме косинусов
(2R)^2=8^2+8^2-2*8*8*cosα
cosα=(128-4R^2)/128
sinα=4R*sqrt(64-R^2)/128=R*sqrt(64-R^2)/32
S(cечения)=8*8*sinα/2=R*sqrt(64-R^2).
S`(R)=sqrt(64-R^2)+R*(-2R)/2sqrt(64-R^2)=

=(64-2R^2)/sqrt(64-R^2)

S`(R)=0
64-2R^2=0
R^2=32 ⇒ R=4sqrt(2) - наибольшее значение радиуса, точка максимума, так как производная S` меняет знак с + на -.

S=4sqrt(2)*sqrt(64-32)=32.


Или
по теореме Пифагора
h^2=8^2-R^2
h=sqrt(64-R^2)
S(осевого сечения в зависимости от )=2R*h/2=R*sqrt(64-R^2)
S(R)=R*sqrt(64-R^2)
S`(R)=sqrt(64-R^2)+R*(-2R)/2sqrt(64-R^2)=

=(64-2R^2)/sqrt(64-R^2)

S`(R)=0
64-2R^2=0
R^2=32 ⇒ R=4sqrt(2) - наибольшее значение радиуса, точка максимума, так как производная S` меняет знак с + на -.

S=4sqrt(2)*sqrt(64-32)=32.

О т в е т. а) 12 sqrt(7); б) 32.