Задача 10736 В правильной треугольной призме...

Julia_Trusova

23.10.2016

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания АВ=7sqrt(3), а боковое ребро АА1=8.

а) Докажите, что плоскость ВСА1 перпендикулярна плоскости, проходящей через ребро АА1 и середину ребра В1С1.
б) Найдите тангенс угла между плоскостями ВСА1 и ВВ1С1.

а) 1)Построим плоскость, проходящую через ребро АА1 и середину ребра В1С1.
D1 – середина ребра В1С1, соединим А1 и D1(так как они находятся в одной плоскости). Проведем прямую D1D || B1B(так как A1A||(BB1С1С), то (АА1D1) будет пересекать (BB1С1С) по параллельной прямой), тогда D – середина ВС.
АА1D1D – полученное сечение.
2)(ВСА1)∩ (АА1D1)=А1D.
Для того, что бы доказать, что две плоскости перпендикулярны, достаточно доказать, что одна из этих плоскостей проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости.
ВС⊥AD(треугольник АВС – правильный, значит, AD – медиана и высота), ВС⊥D1D(так как D1D || B1B, а B1B⊥плоскости основания, потому что призма правильная).
= > ВС⊥(АА1D1)
При этом, ВС Є (АВС) = > (ВСА1)⊥ (АА1D1).
б) D1D⊥BC, A1D⊥BC( по теореме о трёх перпендикулярах), = > Угол А1DD1 – линейный угол двугранного угла между плоскостями ВСА1 и ВВ1С1.
Треугольник А1DD1 с прямым углом D1(А1D1 – и медиана, и высота).
Тогда, tg А1DD1=A1D1/D1D
D1D=A1A=8
А1С1=АС= АВ=7sqrt(3), так как призма правильная.
Из треугольника А1D1C1 по теореме Пифагора, получим:
А1D1=sqrt((7sqrt(3))^2-(3,5sqrt(3))^2)=10,5
tg А1DD1=10,5/8=21/16


Ответ: 21/16