Задача 11026 Дана правильная треугольная призма...

slava191

29.10.2016

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1.

А) Докажите, что прямая В1С1 перпендикулярна линии пересечения плоскостей АВС1 и АСВ1.

Б) Найдите угол между плоскостями АВС1 и АСВ1, если известно, что АВ=2, АА1=2.

SOVA

30.10.2016

★

А)Плоскости АВС1 и АСВ1 имеют общую точку А и общую точку К-точку пересечения прямых ВС1 и В1С, поэтому пересекаются по прямой АК.
Проекцией АК является AF, F- середина ВС.
АF⊥ВС, по теореме о трех перпендикулярах АК⊥ВС,
ВС || В1С1 ⇒ АК ⊥ В1С1, что и требовалось доказать.
Б)Чтобы построить угол между плоскостями АВС1 и АСВ1
проводим перпендикуляры из точки В1 на АК и из точки С1 на АК.
Поскольку треугольники АВ1К и АС1К тупоугольные, высоты проводим на продолжение АК.
∠В1РС1- угол между плоскостями АВС1 и АСВ1

АВ1=В1С=АС1=ВС1=2sqrt(2) - диагонали боковых граней призмы, квадратов.
Из равнобедренного треугольника АВ1С:
cos∠AB1C=3/4
sin∠AB1C=sqrt(7)/4
Из треугольника АВ1К по теореме косинусов
АК=2
S(Δ АВ1К)=(АВ1•В1К•sin∠AB1C)/2=sqrt(7)/2
S(Δ АВ1К)=AK•B1P/2 ⇒ B1P=sqrt(7)/2

Из равнобедренного треугольника
B1PC1 по теореме косинусов
(B1C1)^2=(B1P)^2+(C1P)^2-2•(B1P)•(C1P)•cos∠В1РС1
cos∠В1РС1=3/7
О т в е т. ∠В1РС1=arccos(3/7).