Задача 4909 В правильной шестиугольной пирамиде...

slava191

31.10.2015

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое рёбро вдвое больше стороны основания.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину С, делит апофему грани ASB в отношении 1 : 2, считая от вершины S.

б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину С, делит ребро SF, считая от вершины S.

TatyanaBoronina

05.11.2015

★

а)Пусть М и N -середины SA и SB cоответственно. MN||AD||BC||EF=> MN||пл.SBC и пл.SEF=>сечение, проходящее через М и N,пересекает эти плоскости по прямым,параллельным ВС и EF.Значит сечение проходит по отрезку ВС. В грани ASB BM-медиана, апофема грани- тоже медиана, значит ВМ пересекает апофему в отношении 2:1, считая от вершины S (а не 1:2)
б)Т.к. сечение пересекает плоскость SEF по прямой , параллельной EF, то SF разделится в том же отношении, каки апофема этой грани,посему рассмотрим треугольник SPQ, где P и Q-середины ВС и EF соответственно.Высоту этого треугольника, проведенную из S,сечение делит пополам.Поместим в P иQ единичные массы, а в S массу, равную 2, тогда центр масс-середина высоты.В силу единственности центра масс системы можно вместо P,Q,S взятьQ(1) и точку пересечения сечения с SP.По правилу рычага SPразделится в отношении 1:2,считая от S.Также можно доказать все это при помощи подобия или методом площадей.